Frage von Ephisto, 35

Integralrechnung Problem, Flächeninhalt zwischen zwei Funktionen?

Folgende Aufgabe : f(x)=x²+2 g(x)=6, Berechne die Fläche zwischen den Funktionen. Wenn ich nun von beiden Funktionen das Integral bilde kommt einmal für die Gerade 24 (FE) heraus und für die Parabel 5,3 (FE). Wenn ich die Flächen dann voneinander abziehe sollte ja das Ergebnis von 18,6 kommen, jedoch zeigt mir die Lösung 10,6. In der Lösung wurden die Funktionen bereits im Integral voneinander abgezogen, aber wieso ist mein Ergebnis falsch?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 20

Hallo,

die Integralgrenzen liegen bei x=-2 und x=2, weil sich dort die beiden Funktionen schneiden.

Wenn Du fx=6 in diesen Grenzen integrierst, bekommst Du als Fläche ein Rechteck von 6*4=24 FE, weil der Funktionswert für x=2 und x=-2 natürlich bei 6 liegt und die beiden x-Stellen 4 FE auseinanderliegen.

Wenn Du f(x)=x²+2 integrierst in diesen Grenzen, bekommst Du aber nicht die Fläche zwischen der Parabel und y=6, sondern die Fläche zwischen der Parabel und der x-Achse und den beiden Senkrechten durch x=2 und x=-2.

Du brauchst aber die Fläche zwischen der Parabel und der Geraden.

Deshalb mußt Du von den 24 FE des Rechtecks die Fläche unterhalb der Parabel abziehen.

Wegen der Symmetrie kannst Du von 0 bis 2 integrieren und das Ergebnis verdoppeln.

F(x)=(1/3)*x³+2x

F(2)=(8/3)+4=6 2/3

F(2)*2=13 1/3

24-13 1/3=10 2/3=10,67

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn Du die Differenz 6-(x²+2) bildest, kommst Du auf -x²+4

Wenn Du hier von 0 bis 2 integrierst, ergibt das bei 

F(x)=-(1/3)x²+4x -(8/3)+8=5 1/3, das Ganze mal 2 ergibt 10 2/3, also das gleiche Ergebnis.

Willy

Antwort
von Mikkey, 35

Das Integral von f bestimmt die Fläche unterhalb der Parabel, für die Fläche zwischen den Funktionen brauchst Du die Fläche oberhalb.

Kommentar von Tannibi ,

Ja klar, darum zieht man die Fläche unter der Kurve ja auch
ab. Ich komme auf das gleiche Ergebnis wie der Fragesteller.

Kommentar von Mikkey ,

Man sollte doch nicht versuchen, Antworten auf solche Frage "mal eben" fertigzuschreiben und nicht nochmal drüber zu gucken.

Weitere Kommentare, dass die obige Antwort Stuss ist, sind überflüssig ;-)

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Der Fehler liegt hier:

und für die Parabel 5,3 (FE)

Es kommen 40/3 ≈ 13,33 FE für die Fläche unter f heraus.

F(x) = 1/3 * x³ + 2x

Wenn du mir zeigst, wie du integriert hast, sage ich dir, wo der Fehler genau liegt. ;)

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

Kommentar von Ephisto ,

Die Stammfunktion habe ich genauso. Aber wenn ich dann die Grenzen von 2 und -2 (Schnittpunkte beider Funktionen) dort eingebe komme ich auf 5,3

Kommentar von Tannibi ,

Nein.

F(-2) = -8/3 -4
F(2) = 8/3 + 4

F(2)-F(-2) = 8/3 + 4 - (-8/3 - 4) =
16/3 + 8 = 40/3

Kommentar von Willibergi ,

F(x) = 1/3 * x³ + 2x 

  ₂
  ∫ 1/3 * x³ + 2x dx
⁻²

                         ₂
= [1/3 * x³ + 2x]
                        ⁻²

= (1/3 * 2³ + 2*2) - (1/3 * (-2)³ + 2*(-2))

= (8/3 + 4) - (-8/3 - 4)

= 8/3 + 4 + 8/3 + 4

= 16/3 + 12

= 40/3 ≈ 13,33 FE

Du hast wahrscheinlich irgendeinen Vorzeichenfehler gemacht. ^^

EDIT: Mist, Tannibi war schneller. ^^

LG Willibergi

Kommentar von Tannibi ,

Er hat einen Vorzeichenfehler bei der 4 gemacht und die
beiden 4er weggestrichen statt zu 8 addiert. Genau wie ich :-(
Darum die Differenz 8.

Kommentar von Ephisto ,

Ja der Fehler war lediglich das Übersehen eines "-" Zeichens ;( Danke an Euch beide ;)

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