Frage von JoelFTW, 55

Integralrechnung Fläche bestimmen?

Ich weiß zwar wie man die Fläche zwischen zwei Graphen mit der gegeben Funktion berechnet, aber hier komme ich echt nicht weiter.

Antwort
von eddiefox, 24

Hallo,

ich habe eine Idee. Im Bild sehe ich das Wort "Parabeln", also gehe ich davon aus, dass mindestens eine Begrenzung eines Blattes der Blume die Kurve einer Parabel ist.

Zur Konstruktion eines Blattes:

Die Standard-Parabel unterliegt folgenden Bedingungen: 

1) f(0) = 0 und 2) f(3) = 3.

Ansatz: f(x) = ax².

Die Bedingung 1) ist erfüllt. Bedingung 2) :

f(3) = a×3² = 9a = 3; daraus folgt a = 1/3. 

Die gesuchte Parabelfunktion lautet also  f(x) = (1/3)x²

Der obere Rand ist eine Kurve, die zur Funktionskurve der Parabel bezgl. der Geraden y=x symmetrisch ist. Diese Kurve ist also der Graph der Umkehrfunktion der Funktion f(x) = (1/3)x².

Die Umkehrfunktion g von f erfüllt die Bedingung g(f(x)) = x.

Die Umkehrfunktion der Standardparabel ist die Wurzelfunktion.

Wir suchen also eine Wurzelfunktion die die gleichen Bedingungen 1) und 2) erfüllt. Daraus ergibt sich: g(x) = (√3)×(√x).

Beweis: g(f(x)) = √3 × √[(1/3)x²] = (√3/√3)x =  x

g(x) = (√3)×(√x) ist also die Umkehrfunktion von f(x) = (1/3)x²

Anbei ein Plot der Funktionskurven von f und g wo man sehen kann dass das Blatt der Blume reproduziert wird.

Nun brauchst Du also nur die Fläche zwischen den Funkionskurven von g und f zu berechnen, d.h. das Integral 

∫(g(x)-f(x))dx = ∫(√3)×(√x)dx - ∫(1/3)x²dx  von 0 bis 3.

Die Fläche die sich ergibt, mit 4 multiplizieren und das wars.

Grüsse

Antwort
von eddiefox, 20

Weil es Spass macht...

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