Frage von Jochengernd, 73

Integralrechnung einer veränderlichen?

Guten Abend, Ich wollte mal gerne wissen, wieso man genau bei dieser Aufgabe anders vorgeht, als bei anderen Integralaufgaben. Den groben Ablauf habe ich verstanden, jedoch möchte ich, um es zu verstehen, wissen warum ich zuerst nach du integriere und dann nach dx, bzw. warum ich u in die Aufgabe einsetze (ohne zu integrieren) um neue Integrationsgrenzen zu bekommen. Wieso integriere ich nicht schon beim du?

Bin für jede hilfreiche Antwort dankbar.

PS: die Lösung da ist falsch, habe die Aufgabe jedoch richtig gelöst

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 33

Hallo,

Du kannst nicht einfach nach du integrieren, das wäre viel zu kompliziert.

Die Wurzel aus 2u+1 kann man auch als (2u+1)^(1/2 schreiben.

ln(2u+1)^(1/2) ist nach den Logarithmusgesetzen dasselbe wie 1/2*ln(2u+1). Da 1/2 nun eine einfache Konstante ist, kannst Du sie vor das Integral ziehen, so daß unter dem Integral der Ausdruck ln(2u+1) bleibt. Das läßt sich immer noch nicht ohne weiteres integrieren. Deshalb substituierst Du 2u+1 durch x, so daß du/dx=ln(x) ist.

Die Ableitung von 2u+1 nach u ist 2. Wenn dx/du=2, ist du =(1/2) dx.

Du kannst also nur 2u+1 durch x substituieren, wenn Du mit dem Faktor (1/2) ausgleichst. Nicht zu vergessen das (1/2), das schon vorher aus dem Integral gezogen wurde. Insgesamt lautet das Integral nun
1/4*∫ln(x), das nun endlich in (1/4)*(x*ln(x)-x) aufgelöst werden kann.

Nun kannst Du entweder x wieder durch 2u+1 ersetzen und von 0 bis 1 integrieren oder Du paßt die Integrationsgrenzen, die für du galten, an dx an. Da 2u+1=x, lauten die neuen Grenzen anstatt 0 jetzt 1, weil 2*0+1=1 und statt 1 mußt Du 3 einsetzen, denn 2*1+1=3.

Wenn Du x wieder durch 2u+1 ersetzt, kannst Du natürlich die alten Grenzen behalten und Du setzt die 1 und die 0 in (1/4)*((2u+1)*ln(2u+1)-(2u+1)) ein.

In beiden Fällen bekommst Du als Ergebnis (3/4)*ln(3)-(1/2) heraus.

Der Prof. hat allerdings in der letzten Zeile vergessen, daß er, wenn er 2u+1 durch x substituiert, aus dem (1/2) ein (1/4) machen muß. Im letzten Term hinter dem letzten Gleichheitszeichen stimmt aber alles wieder. Da hat er den vergessenen Faktor wieder eingerechnet.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Jochengernd ,

Sehr nett, hab es verstanden, vielen Dank 

Kommentar von Australia23 ,

I ln(2u+1) du lässt sich doch "ohne weiteres" integrieren, da die Ableitung von "2u+1" nach u nur eine Konstante ist:

I ln(2u+1) du = ((2u+1)*ln(2u+1) - (2u+1))*1/2

Substitution ist erst nötig, wenn die Ableitung der Inneren Funktion noch von der Variable abhängig ist (und dann bloss hilfreich, wenn die Ableitung im Integrand steht).

Ich nehme an hier wurde die Substitution nur zur Demonstration gewählt...

Kommentar von Willy1729 ,

Stimmt auch wieder. In der Frage ging es aber vor allem um die Änderung der Integrationsgrenzen. Das mit der Demonstration hat einiges für sich.

Antwort
von kepfIe, 33

Du hast gestern schon mal ne Frage dazu gestellt. Zu der Frage sag ich gleich nochmal was, weil die Lösung doch nicht so falsch ist wie ich gedacht hab, aber das konnte ich gestern nich wissen.  

Integration durch Substitution wird meistens dann benutzt wenn man eine äußere (hier ln(x)) und eine innere (hier 2u+1) Funktion hat und die Ableitung der inneren eine Konstante (2) ist. Anders kommt man sonst einfach nicht ans Ziel.  

Jetzt zu der Sache mit der Lösung: In der zweiten Zeile steht du = 1/2 dx. In der letzten Zeile wurde aber nur du durch dx ersetzt und damit gerechnet. Eigentliche sollte da vor dem dx noch ein 1/2 stehen, das man rausziehen kann. So kommt man dann doch auf die Lösung die da steht.

Kommentar von Jochengernd ,

Danke für die Hilfe

die eigentliche Frage die ich wissen wollte, ist warum ich hier z.B. die Grenzen vertauschen muss

Kommentar von kepfIe ,

Warum genau man das macht sieht man im Beweis (zweimal Hauptsatz der Differential- und Integralrechung anwenden). Die neuen Grenzen sind die alten Grenzen, eingesetzt in die innere Funktion (bzw. die Funktion die du subtituierst).

Kommentar von Willy1729 ,

Die Verwirrung entstand dadurch, daß der Prof. in der letzten Zeile einen Fehler gemacht hat. Die Lösung allerdings stimmt wieder. Bei der letzten Frage hatten wir nicht die komplette Aufgabe und konnten den eigentlichen Fehler nicht erkennen.

Kommentar von Jochengernd ,

Ich danke Leute 

Antwort
von iokii, 27

Weil man´s beim du nicht integriert kriegt.

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