Frage von Tebatibbas1234, 13

Integralrechnung - Stammfunktion?

Hey Leute, hatte das noch nicht im Unterricht, hab mich aber trotzdem im Internet erkundigt und wollte wissen wie die Integralrechnung funktioniert.

Also verstanden hab ich, dass man die Stammfunktion [ F ] einer Funktion [ f ] benötigt. Aber wieso benutzt man ausgerechnet die Stammfunktion bei der Flächenbestimmung? Wie hängen denn Fläche von f mit der Stammfunktion zusammen?

Antwort
von EtechnikerBS, 6

Im Grunde geht es bei der Integralrechnung darum eine Summe aus unendlich vielen Summanden zu bilden, die aber alle unendlich klein sind. Das klingt zwar erstmla so, als ob da immer 0 oder unendlich rauskommt, tuts in der Praxis aber nicht. Stell dir vor du rechnest die Fläche unter dem Graphen "grob" aus, indem du ganz viele Rechtecke darunter packst. Die Fläche wäre die Summe aus den Rechtecken. Je schmaler du die Rechtecke machst umso mehr brauchst du auch und umso genauer wird die Flächenberechnung. Für unendlich viele Rechecke wird die Fläche dann genau, und die Zahl der Summanden unendlich. (Ähnlich wie bei der Differenzialrechung wenn man die beiden Punkte der Tangente letzendlich aufeinanderschiebt.)

Aber bei Integralen geht es nicht immer zwangsläufig um Flächen. Gerade in der Physik haben die "Flächen" unter den Graphen ja häufig auch anschaullich andere Bedeutungen wie z.B. zurückgelegte Strecke oder Ladung. Allgemein lässt sich sagen, dass du per Integralrechung Berechnungen die vorher nur durschnittswerte liefern, wie z.B. die zurückgelegte Strecke über die Geschwindigkeit (s=v*t), genau berechnen kannst auch wenn die Geschwindigkeit in dem Beispiel eine zeitabhängige Funktion ist. (s=int v(t)*dt).

Hier würde man jetzt die Geschwindigkeit in unedlich viele kleine Abschnitte teilen und jeweils mit dem entsprechenden unendlich kleinen Zeitintervall multiplizieren, um anschließend alle zu addieren.

Pratisch bestimmt man die Stammfunktion genau andersrum wie die Ableitungen. Das geht aus dem Fundamentalsatz der Algebra hervor. Wenn du also die Stammfunktion ableitest erhälst du wieder die Ursprungsfunktion.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 6

Dazu gibt es den sog. Fundamentalsatz der AnaIysis bzw. Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung, welcher genau diese Frage ausreichend klären dürfte.

Kommentar von Tebatibbas1234 ,

Könntest du vielleicht eine Quelle schicken, die für Anfänger verständlich ist? Hab grad bisschen geguckt und finde nichts richtiges.

Kommentar von MeRoXas ,

Wenn du mir fünf Minuten gibst, schick ich dir 'ne Doppelseite aus meinem Mathebuch - der Beweis ist da nicht vollständig ausgeführt (denke ich jedenfalls), reicht aber für das grundlegende Verständnis aus.

Kommentar von MeRoXas ,

http://imgur.com/Plvbjif

Da der Beweis, zumindest in Grundzügen.

Antwort
von iokii, 4

F(b)-F(a)=Gerichtete Fläche unter dem Graphen von f im Intervall [a,b].

Du kannst ja mal überlegen, warum die Flächenberechnungsfunktion f als ableitung haben müsste.

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