Frage von Equlibrium, 86

Integralrechnung - Geometrische Interpretation?

Ich soll am kommenden Donnerstag eine GFS (Presentation) halten und von mir wird zum Thema Integralrechnung die Geometrische Interpretation verlangt, also das ich die Geometrische Interpretation erklären soll. Das Problem daran ist, das ich nicht genau weiß was damit gemeint ist. Hab gelesen, dass damit die Fläche zwischen einer Funktion f und der x-Achse gemeint ist. Das ist aber die Erklärung zur Grundidee der Integralrechnung.

Das Thema Integral hatte ich in der 11. und 12. Klasse. Und ich bin momentan in der 13. Klasse und jeder kennt das Gefühl das man nach so einer langen Zeit einiges vergisst :D

Ich hoffe auf eine verständliche Erklärung :) Danke schon mal im Vorraus.

Zusatzinformation: Meine Unterthemen sind Grundidee der Integralrechnung Geometrische Interpretation Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung Integrieren durch Substitution Berechnung von Integralen durch partielle Integration Berechnung von Integralen mit Hilfe der Kettenregel Berechnung von Integralen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 44

Ich kenne eine schöne geometrische Interpretation für die Integralrechnung -->

Du legst eine Kugel in ein räumliches, dreidimensionales kartesisches Koordinatensystem xyz, und zwar so, dass der Mittelpunkt dieser Kugel genau im Ursprung dieses genannten Koordinatensystems liegt.

Die Kugel läuft dann entlang der z - Achse (Höhenachse) von -r bis +r wobei r der Radius dieser Kugel ist.

Nun stelle dir mal vor, du könntest diese Kugel horizontal entlang der z - Achse im Bereich von -r bis +r aufsteigend in unendlich viele infinitesimal dicht bei einander liegende Kreise zerschneiden.

Die Fläche eines dieser Kreise wird durch A = (pi / 4) * d ^ 2 beschrieben.

d hängt davon ab, an welcher horizontalen Position auf der z - Achse im Bereich von -r bis +r zerschnitten wird.

d aus der Formel für A wird durch die Formel d = 2 * √(r² - z²) beschrieben, wobei z von -r bis +r läuft.

d kann man nun in die Formel für A einsetzen, A kann dabei als Funktion von z aufgefasst werden -->

A(z) = (pi / 4) * (2 * √(r² - z²)) ^ 2

Das Volumen dieser Kugel erhältst du nun durch die Aufsummierung der Flächeninhalte aller dieser unendlich vielen, infinitesimal dicht bei einander liegenden Kreise, also durch die Aufsummierung von A(z)

Und das ist genau das, was die Integralrechnung macht !!

Schau mal hier -->

http://goo.gl/OOSaR5

Man erhält dann die in jeder Formelsammlung zu findende Volumenformel einer Kugel, nämlich V = (4 * pi * r ^ 3) / 3

Die Volumenformel der Kugel lässt sich also schön durch die Integralrechnung herleiten.

Kommentar von Equlibrium ,

Das heißt, das die geometrische Interpretation von Integralen allgemein die Fläche zwischen einer Funktion f und der x-Achse und die Berechnung des Volumens eines Körpers ist ?

Kommentar von DepravedGirl ,

Ja, das stimmt was du sagst. Am besten anhand von ganz konkreten Beispielen beschreiben und erklären.

Kommentar von Equlibrium ,

ich hätte da noch eine weitere Frage, die aber auf ein anderes Unterthema bezogen ist:

Verlangt ist die Beschreibung jeder Methode mit einem Beispiel:

Methode: Integrieren durch Substitution:

Integral 1/sin(x) dx mit x element von (0,pi) 

ich hab jetzt mal angenommen das 

x element von (0,pi) folgendes bedeutet:

0 <= x <= pi

somit könnt ich sagen:

Integral 1/sin(x) dx; Untere Grenze = 0 ; Obere Grenze = pi

Aber ich habe so die Vermutung, das Integral 1/sin(x) dx garnicht substituierbar ist, da das x in sin(x) als einzelne Variable gilt und es unnötig wäre es substituieren zu wollen. Muss ich da vielleicht "1/sin(x)" komplett zu z.b. t substituieren sodass ich "Integral t dt von 0 bis pi" habe oder muss ich sin(x) substituieren sodass ich "Integral 1/t dt von 0 bis pi" habe? Integrieren durch substitution hab ich in der Schule nie gelernt, war nicht Bestandteil des Lehrplanes wie es aussieht, und habe da im moment extreme Probleme.

Berechnung von Integralen durch partielle Integration, Berechnung von Integralen mit Hilfe der Kettenregel und berechnung von Integralen mit Hilfe der Partialbruchzerlegung habe ich mir bis jetzt noch nicht angesehen, weil ich noch an dem Problem mit Substitution festhänge. 

Kommentar von DepravedGirl ,

mit x element von (0,pi)

Das würde ich so nicht schreiben, weil man sonst denkt, dass der Definitionsbereich der Funktion f(x) = 1 / sin(x) willkürlich auf 0 bis pi eingeschränkt wurde.

Besser ist es direkt zu schreiben dass das Integral von 0 bis pi laufen soll.

Was ∫ 1 / sin(x) * dx betrifft, so schaue mal auf diese Webseiten -->

https://goo.gl/M2vCKs

Zur Integration durch Substitution schaust du dir am besten Videos an -->

https://www.youtube.com/results?search_query=integration+durch+substitution

Kommentar von Equlibrium ,

hab das selber nicht verstanden weshalb die Lehrerin "mit x ∈ (0,pi)" geschrieben hat. ich hätte 0 <= x <= pi geschrieben. Aber ich bin immernoch unsicher ob mit "mit x ∈ (0,pi)" wirklich "0 <= x <= pi" gemeint ist. Ich hab es so verstanden. Vielleicht bedeutet es ja auch das x=0 und x=pi, dann hätte ich aber 2 Funktionen.

1.

Integral 1/sin(0) dx 

2.

Integral 1/sin(pi) dx

aber das ergibt keinen Sinn, da ich kein X mehr drin habe und deswegen habe ich angenommen das 0 <= x <= pi gemeint ist

Kommentar von DepravedGirl ,

Frage am besten mal deine Lehrerin danach, was sie mit x ∈ (0,pi) meint. Ob sie damit meint, dass der Definitionsbereich von f(x) = 1 / sin(x) auf dieses Intervall eingeschränkt ist, oder ob das Integral von 0 bis pi laufen soll.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 41

So wie die Unterthemen aufgebaut sind fällt mir auch nicht viel mehr zur "Geometrischen Interpretation" ein.
Vielleicht noch, dass bei einem negativen Integral darauf geschlossen werden kann, dass sich der größere Teil der betrachteten Fläche unterhalb der x-Achse befinden muss. (Grund hierfür?  -> Herleitung der Integrale aus Proukten von (Teil)Intervallbreite und Funktionswerten).

Für mich klingt das nicht so, als ob Du auf physikalische (z.B. Integral über die Geschwindigkeit ergibt Entfernung vom Ausgangspunkt) oder andere Anwendungen eingehen müsstest.

Evtl. noch mal mit dem Lehrer/der Lehrerin abklären?

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 31

Mit einer Substitution (wenn auch nicht mit Sinus) kann ich dir behilflich sein:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-integriert-man-verschachtelte-funktionen?fou...

Die Durchführung steht nun zufällig in einem Kommentar.
Such mal nach Volens. Sie ist gar nicht so lang.

Kommentar von Equlibrium ,

Also ich habe von der Lehrerin 3 Aufgaben bekommen:

1. 

Integral 1/sin(x) dx mit x element von (0, pi)

2.

Integral x^2 + 1 / x wurzel(x^4 + 1) dx mit x element von (0, unendlich)

3. 

Integral tan(x) dx mit x element von (-pi/2 , pi/2)

Bin zwar gerade dabei herum zu probieren wie ich das lösen könnte aber jegliche art von Hilfe wäre ich dankbar 

Kommentar von Volens ,

Ich kann ja mal schnell tan x integrieren, aber nur das unbestimmte Integral. Die Grenzen einsetzen kannst du dann mit deinem Taschenrechner.

I  = ∫ tan x dx                     | der übliche Quotient  tan = sin/cos
   = ∫ (sin x / cos x) dx 

Substitution: z = cos x            Ich brauche noch dz
            dz/dx  = - sinx           dx = - dz / (sin x)

Das setze ich oben ein.

I = ∫ - ((sin x) / z) * (dz/ (sin x))     | sin x lässt sich kürzen
  = ∫ - (1/z) dz                              | ∫ von 1/x ist ln
  =  - ln
z  +  C                            | resubstituieren
  =  - ln (cos x) + C
 

Kommentar von Equlibrium ,

Danke, mit den Kommentaren ist es nachvollziehbar, damit kann ich sogar die aufgabe ∫ 1/sin(x) dx zum teil lösen

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