Frage von maxxxxam, 66

Integralrechnen für f(x)=x+1. Wie geht das richtig?

Ich bekomme die Rechnung für Un und On von f(x)=x+1 im Intervall [0;1] nicht richtig hin. Ich bekomme immer 0,5 FE raus, aber mein Lehrer bekommt 1,5 FE raus. Ich schreibe mal auf wie ich das gerechnet habe: x=1/n Un=1/n[ (0+1)+(1/n+1)+(2/n+1)+....+(1n/n-1/n+1)] Dann hab ich n ausgeklammert: Un=1/n^2(1+2+3+....+n)

Dann hab ich die benötigte Summenformel eingesetzt (so wie wir das immer im Unterricht gemacht haben): Un=1/n^21/2n(n+1) Danach hab ich die n von 1/n^2 auf andere Stellen gezogen: Un=11/2n/n(n+1)/n Zum Schluss hab ich n gegen Unendlich laufen lassen: limUn=lim(11/2n/n(n+1)/n)=11/211=0,5 FE

Es würde mir reichen wenn mir jemand hilft Un zu berichtigen/ richtig zu rechnen. On ist nicht nötig. Aber bitte nicht mit den komplizierten Mathematischen Zeichen, in etwa in der Form wie ich es gerechnet hab (damit ich es verstehe). Dankeschön schon mal im Voraus!

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von HanzeeDent, 19

Sicher, dass das mit dem Ausklammern richtig ist?

ich komme da auf 1/n^2[1+2+3+4+...+n-1+n(n+1)]

Antwort
von PeterKremsner, 19

Du hast einen Fehler beim Ausklammern des n:

Un = 1/n*(0/n+1+1/n+1+2/n+1...n/n+1) = 1/n*[(0/n+1/n+2/n+....n/n)+(1+1+1+1+1.....)]

Wenn du die 1er zusammenrechnest hast du insgesamt n einsen also ist diese Summe gleich n:

Un = 1/n*(1/n+2/n+....n/n) + 1/n*n = 1/n*(1/n+2/n+...n/n) + 1

Jetzt kannst du im ersten Term das 1/n rausheben und es steht:

Un = 1/n²*(1+2+...n) + 1

Diese Summe lässt sich jetzt leicht mit der Summenformel von Gauß bestimmen und zwar addierst du zu der Summe (0+1+2+...n) die Summe (n+(n-1)+....2+1+0) dazu das entspricht 2*(0+1+2+...n)

Dann steht da (n+n+n+n+n.....+n) und das ganze steht (n+1) mal da also ist das n*(n+1) = n²+n

Daher ist unsere Summe (1+2+3+.....+n) = (n²+n)/2

daraus ergibt sich:

Un = 1/n²*(n²+n)/2 + 1 = 1/2+1/2n + 1

Wenn du da jetzt  n gegen unendlich gehen lässt verschwindet der Ausdruck 1/2n und es bleibt 1/2 + 1 = 1,5FE


Kommentar von maxxxxam ,

Ist da nicht auch ein Fehler drin du rechnest da "Un=1/n*(0/n+1+1/n+1+2/n+1+....+n/n+1)"
Muss das nicht eher Un=1/n*(0/n+1+1/n+1+2/n+1+....+n/n-1/n+1) heißen?

Kommentar von PeterKremsner ,

Warum sollte im letzten Term -1/n+1 stehen?

Du meinst wohl eher:

....+(n-1)/n+1+n/n+1 oder?

In dem Fall sind die beiden Formen äquivalent ich hab nur den Term mit den (n-1)/n+1 nicht explizit angeschrieben, in der Summe ist er aber dennoch enthalten.

Kommentar von PeterKremsner ,

kleiner Nachtrag, ich hab hier nicht wie gewünscht die Untersumme sondern die Obersumme berechnet....

Die Untersumme wäre 1,5-1/2n

Fürs Integral ist das aber unerheblich.

Antwort
von hrNowdy, 14

Mal ein ganz anderer, viel einfacherer Ansatz für diesen Fall:

Der Integral bedeutet, den Flächeninhalt zwischen y-Achse und Funktion.

Die Funktion hat für y=0 den Wert x=1 und steigt danach Linear an. Meint, wenn du um 1 nach rechts gehst und den Integral ausrechnen willst, hast du automatisch eine Fläche von 1*1 = 1 FE eingeschlossen. 

Daraufhin schaust du, was noch übrig ist. Das ist ein Dreieck, dessen Flächeninhalt wir ganz einfach ausrechnen können. Es ist rechwinklig und hat zwei Seiten die jeweils 1 LE lang sind.
Ein solches Dreieck berechnet man mit a*b*0.5 = 1*1*0.5 = 0.5

Addiert bedeutet das 1 FE + 0.5 FE = 1.5 FE.

Wenn das ganze hier etwas unverständlich ist, kann ich dir das auf Nachfrage auch mal aufzeichnen.

Kommentar von maxxxxam ,

Habs verstanden
Geht das bei allen linearen Funktionen?

Kommentar von hrNowdy ,

Ja, bei linearen Funktionen klappt das immer, musst halt schauen von wo bis wo du den Integral berechnen musst und dann kannst du nach einfachen Regeln den Flächeninhalt berechnen. Klappt am besten wenn man sich das ganze vorher aufzeichnet

Kommentar von maxxxxam ,

Ja
Der andere der über deiner Antwort seine Antwort geschrieben hat hat glaube ich ein Fehler gemacht
Kannst du dir mal den Kommentar anschauen?

Kommentar von hrNowdy ,

Tut mir leid, aber da habe ich gerade nicht wirklich die Zeit und die Gedult durch die Rechenmethoden die ihr dort angewandt habt durchzusteigen. 

Ehrlich gesagt kommt er jedoch auf die richtige Lösung, und ich sehe auch nicht wo das /n-1 bei deiner Rechnung auf einmal hekommt. Zudem habe ich noch nie von etwas namens Un = ... gehört ^^

Kommentar von PeterKremsner ,

Un ist die n-te Untersumme des Rieman Integrals.

On wäre die n-te Obersumme des Rieman Integrals und Zn wäre die n-te Zwischensumme des Rieman Integrals.

Alle diese Summen müssen beim Grenzübergang n -> unendlich (Schritteweite -> 0) zu dem selben Wert konvergieren und das ist dann der Wert des Integrals.

Zumindest nach dem Riemanschen Integralbegriff, im Lebesgue Integral wird das anders formuliert.

Kommentar von Geograph ,

Sehr eleganter Ansatz mit kleinem Schreibfehler

"Der Integral bedeutet, den Flächeninhalt zwischen x-Achse und Funktion".

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