Frage von niewiedertipico, 67

Integral: x*Wurzel(x+3) dx Kann mir jemand bitte einen Tipp geben wie ich diese Aufgabe lösen kann. Mi einer part. Int komme ich zu keinem Ergebnis :/?

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Ich weiß ja nicht, was Du mit "keinem Ergebnis" meinst. Kommt nicht das raus, was div. Integralrechner vorrechnen? Vielleicht musst Du nur noch "geschickt" ausklammern und zusammenfassen, damit DAS Ergebnis rauskommt...

allg. gilt ja bei der partiellen Integration: Int(f'(x) * g(x))=...
Setze f'(x)=Wurzel(x+3) => f(x)=2/3 * (x+3)^(3/2)
und g(x)=x => g'(x)=1

jetzt integrieren:

Int(...)=2/3 * (x+3)^(3/2) * x - 2/3 * Int((x+3)^(3/2) * 1)
=2/3x * (x+3)^(3/2) - 2/3 * 2/5 * (x+3)^(5/2)   |2/3 * (x+3)^(3/2) ausklammern
=2/3 (x+3)^(3/2) * (x-2/5(x+3))
=2/3 (x+3)^(3/2) * (3/5x-6/5)          |3/5 ausklammern
=2/3 * 3/5 * (x+3)^(3/2) * (x-2)
=2/5 * (x+3)^(3/2) * (x-2)

Gibt wahrscheinlich einen eleganteren Weg (den man erst einmal sehen muss). Hier hab ichs einfach runtergerechnet...

Antwort
von karajan9, 32

Ich kann dir gerne versuchen zu helfen, aber ich finde das recht unproduktiv, wenn ich dir einfach die Lösung da hinschreibe, das hilft ja nicht weiter.

Weißt du denn, wie eine partielle Integration prinzipiell funktioniert?

Was wählst du denn für die beiden Teile f(x) und g(x) und was kommt dann bei deiner Rechnung raus?

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 30

Substitution

u=x+3

x=u-3

x ' = 1

int(u^1/2 - 3u^-1/2)du

= 2/3 • x • wurzel(x+3) - 4 • wurzel(x+3)

Kommentar von ralphdieter ,

Fast! int (u-3)√u du = int u^(3/2)-3u^(1/2) du = …

Kommentar von Ellejolka ,

 danke; dachte

Term heißt : (u-3) / wurzel u



Kommentar von Ellejolka ,

dann ändert sich ja die Lösung enorm; neue Lösung:

2/5 x (x+3)^3/2   -  4/5 (x+3)^3/2

Kommentar von ralphdieter ,

Test:

d/dx 2/5·(x-2)·(x+3)^(3/2)
= 2/5·[ (x+3)^3/2 + 3/2·(x-2)^(1/2) ]
= 2/5·[ (5/2·x)·√(x+3) ]

:-)

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