Frage von Peterneber123, 34

Integral wie geht's?

Wie berechnet man das, weil ja ein Teil über und ein Teil über der x Achse ist  
Danke

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 34

Die Frage ist einfach zu beantworten. Man stückelt das Integral und rechnet von Nullstelle zu Nullstelle, weil sonst grundsätzlich alles, was sich unterhalb der x-Achse abspielt, automatisch subtrahiert wird.
Integriere doch spaßeshalber mal ∫x³dx von -2 bis +2.

Für geschnittene Flächen gilt vice versa:
Man integriert von Schnittpunkt zu Schnittpunkt.
Dann entfällt auch das Nachdenken darüber, welche Kurve sich nun jeweils oberhalb der anderen befindet. Denn das wechselt selbstverständlich beim Schnittpunkt. [ Gar nich' um kümmern! ]

Immer erst die Funktionen subtrahieren, dann integrieren, Nullstellen der Differenz feststellen und rechnen. Sonst hat man mehr Arbeit!

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 22

Im Grunde hast Du 2 Funktionen, die die Fläche einschließen, f(x)=-x²+1 und g(x)=-3, rechne das Integral von f-g zwischen 0 und 2 aus.
Andere Überlegung (und einfacher): Verschiebe einfach die Parabel um 3 nach oben, dadurch verändert sich die Größe der markierten Fläche nicht

Kommentar von Peterneber123 ,

Danke jetzt hab ich es verstanden!!!

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 23

Bei der Flächenberechnung zwischen 2 kurven,wendet man immer diese Formel an 

a= S f(x) -g(x) hier ist s das Integralzeichen 

f(x) begrenzt die Fläche nach oben und g(x) nach unten

hie ist g(x)= - 3 = konstant eingesezt

a= S (- x^2 + 1) - (-3) = S - x^2 + 1 + 3=S - x^2 +4 integriert ergibt sich

a= - 1/3 * x^3 + 4 *x +C nun muss die obere und untere Grenze ermittelt werden.

untere Grenze ist x1= 0 die obere Grenze ist der Schnittpunkt der beiden Kurven also

-3 = - x^2 + 1 ergibt x= 4^0,5 Eine Wurzel hat 2 Lösungen  x= +/- 2

gewählt wird x=2 (obere Grenze ) sieht man am Bild

nun wir normal gerechnet a=obere Grenze minus untere Grenze

a=( - !/3 * 2^3 + 4 *2 +C) - ( - 1/3 * 0^3 + 4 *0 + c) = 5,33.. FE (Flächeneinheiten)

Besonderheit : Wegen - (g(x)) erhalten Flächen unterhalb der x-Achse ein positives Vorzeichen und werden deshalb zu der oberen Fläche (oberhalb der x-Achse) hinzugerechnet.

Nullstellen im Integrationsbereich ( x1 u. x2 ) spielen dabei keine Rolle,da die Flächen wegen des Minuszeichens  - (g(x) immer das richtige Vorzeichen erhalten.

Vertauscht man f(x) und g(x) so ändert sich nur das Vorzeichen vor der berechneten Fläche. Der Betrag ändert sich nicht.

2. Möglichkeit 

Weil g(x) = - 3 = konstant ist,kann man f(x) um 3 nach oben verschieben und erhält dann  f(x)= - x^2 + 1 +3= - x^2 + 4

Nullstelle bei x= 2 Der Flächeninhalt ist der selbe,weil die Fläche ja nur nach oben verschoben wurde.

ACHTUNG : Funktioniert aber nur hier bei solchen Aufgaben. 

Antwort
von Wechselfreund, 22

Das Integral gibt den Flächeninhalt zwischen Graph und der x -Achse an, dazu noch mit einem Vorzeichen (oberhalb positiv, unterhalb negativ bei Integration von links nach rechts, was der Normalfall ist.) Geht es also um Flächeninhalte, musst du an den Nullstellen der Funktion das Integrieren unterbrechen (weitere Integralgrenzen). In deinem Beispiel ist die Fläche, die berechnet werden soll, schon hervorgehoben. Zeichne jetzt ein, welche Teilflächen du mit Integral berechnen kannst und überlege, wie du damit die bezeichnete Fläche berechnest.

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