Frage von swimmingdemon, 53

Induktionsbeweis - Induktionsschritte, beide Seiten mit Gleichheitszeichen gegenüberstellen und dann auf gleiches bringen?

Hallo ihr Lieben!

Ich versuche gerade, mich mit dem Induktionsbeweis anzufreunden und bin ein wenig unsicher. In allen Tutorials die ich mir angeschaut habe, wird im Induktionsschritt ein Teil der Induktionsvorraussetzung genommen, dort statt n einfach (n+1) eingesetzt und dann wird die so umgeformt, dass der andere Teil der Vorraussetzung herauskommt.

Nur fällt mir leider genau das recht schwer, also setze ich meist einfach direkt beide Teile gleich und forme beide seiten dann so um, dass am Ende auf beiden Seiten des Gleichheitsszeichens das gleiche steht. Darf man das auch so machen oder ist das mathematisch nicht korrekt?

Entschuldige dass ich euch belästige, aber meinen Prof oder Tutor an einem Freitag wegen sowas anzuschreiben ist mir echt etwas zu doof :/

Liebe Grüße!!

Antwort
von swimmingdemon, 21

Hier besagtes Bild um mein Problem noch einmal deutlicher zu machen.

Bei Punkt 1 des Induktionsschrittes ist die geläufige Lösung darestellt, bei Punkt 2 hingegen meine favorisierte Schreibweise. Geht die auch?

Kommentar von rumar ,

Hallo swimmingdemon,

ich glaube, deine Frage jetzt verstanden zu haben. Im Prinzip führst du eigentlich dieselbe Rechnung durch, setzt aber gleich von Anfang an auf die rechte Seite der Gleichung das Ergebnis, welches "eigentlich herauskommen sollte". Dieses Vorgehen mag für deine eigenen Überlegungen zwar hilfreich sein, aber für die schlussendliche Präsentation eines Beweises ist es mindestens ungeschickt. So sehe ich zum Beispiel am Ende deines "Lösungsweges" :

    n^2 + 2*n + 1  =  n^2 + 2*n + 1       q.e.d.

Die "Floskel"  q.e.d.  steht für "quod erat demonstrandum" also auf deutsch: "was zu beweisen war".

Aber:  Wolltest du mit deinem "Beweis" nun wirklich beweisen, dass  n^2+2*n+1 = n^2+2*n+1  ist ??   Doch wohl eher nicht !

Und genau aus diesem Grund ist deine Art der Darstellung nur mit zwei zugedrückten Augen akzeptierbar !

Kommentar von swimmingdemon ,

Genau darauf wollte ich hinaus, danke dir!
Dann werde ich ab jetzt diese Rechnung auf einem schmierblatt machen und dann die "richtige" abgeben.

Dankeschön!

Antwort
von rumar, 42

Hallo swimmingdemon

mir scheint, dass du die Idee hinter einem solchen Beweis einfach noch nicht verstanden hast. Eigentlich geht es ja darum:

Um eine unendliche Anzahl von Aussagen A(n)  (wobei n = 1,2,3,4,5, ....) zu beweisen, zeigt man:

1.)  die Aussage A(1)  ist wahr

2.)  falls irgendeine der Aussagen  A(Nummer) wahr sein sollte, dann muss auch A(Nummer+1) wahr sein

Wenn man tatsächlich die Teilbeweise für (1.) und (2.) erbringen kann, dann folgt nach dem ("Domino-") Prinzip der vollständigen Induktion, dass A(n) für jede beliebige natürliche Zahl n gültig sein muss.

Verinnerliche dir mal diese Grundidee und ackere dann die ersten paar Beispiele, die behandelt wurden, nochmals unter diesem Gesichtspunkt durch. Lerne sie dabei nicht "auswendig", sondern folge "inwendig" dem dahinter steckenden Gedankengang ! 

Kommentar von swimmingdemon ,

Hey, danke für deine Antwort!

Aber leider scheint es eher, als hätte ich meine Frage nicht konkret genug gestellt..

Sagen wir mal, ich hätte den Induktionsanfang gefunden und möchte jetzt die Gleichung für (n+1) beweisen, also wie du gesagt hast, damit das "Dominoprinzip" in Kraft tritt.
Nun habe ich ja die Induktionsbehauptung (also die Induktionsvorraussetzung, in die statt n (n+1) eingesetzt ist), die ja üblicherweise aus zwei Teilen besteht die durch ein Gleichheitszeichen getrennt sind. Nun habe ich bisher immer gesehen, dass bei den Induktionsschritten der eine Teil der Gleichung genommen und umgeformt wird (mit der IV etc.) bis er dem zweiten Teil der Gleichung entspricht (die aber außerhalb der Induktionsbehauptung nirgendwo steht).
Ich persönlich finde es aber einfacher beide Seiten der Induktionsbehauptung umzuformen bis auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens das gleiche steht.

Nun ist meine Frage, ob ich das überhaupt so machen "darf" oder ob das dann nicht mehr mathematisch korrekt ist.

Ich hoffe so wird etwas deutlicher was ich meine, kann es irgendwie nicht richtig erklären. Falls es immernoch nicht klar wird versuche ich beide "Arten" mal zu verschriftlichen und lade sie hoch (kann man hier im Nachhinein ein Bild einfügen?)

Kommentar von swimmingdemon ,

Ich habe als eine weitere Antwort ein Bild angefügt!

Antwort
von rumar, 6

Zur weiteren Illustration möchte ich noch ein etwas anderes Beispiel anfügen:

Behauptung:    4 = 6

Beweis:

4 = 6     |  beidseitig 5 subtrahieren

-1 = 1    |  beidseitig quadrieren

1 = 1      q.e.d.


Alles klar ?

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