Frage von ZyrranM, 84

Induktion bei einem "Murmelproblem"?

Hallo,

Ich bräuchte einen Tipp wie ich an folgende Aufgabe rangehen soll:
"Ein Lehrer gibt jedem Schüler 15 Grüne und 12 weiße Murmeln. Jeder Schüler kann an einem Tag entweder 3 Grüne gegen 2 weiße Kugeln tauschen oder auf einmal alle seine Grünen gegen weiße und andersrum tauschen (also wenn ein Schüler n grüne und m weiße Murmeln hat, so hat er danach m grüne und n weiße Murmeln)
Beweise durch Induktion über den Schultag das kein Schüler 5 weiße und 5 grüne Murmeln haben kann (ohne Murmeln verloren zu haben).

Ich möchte explizit keine Lösung, sondern nur einen Denkanstoß, wie ich an diese Aufgabe mit Induktion rangehen soll.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

LG

Antwort
von ZyrranM, 84

Mir wurde ein Tipp gegeben, nämlich das ich die Differenzen der Murmeln betrachten soll.

Folglich habe ich mir gedacht. 1):= Tausch von 3 grünen gegen 2 weiße Murmeln

2):= Tausch aller grünen gegen weiße bzw. umgekehrt.

Nun muss ich ja beweisen, dass am Ende von den Tauschvorgängen niemand 5 grüne und 5 weiße haben kann, also die Differenz 0 ist.

Ausgangssituation: 15g und 12w, also ist die Diffferenz g-w= +3.
Wendet man jetzt 1) an so verringert sich die Differenz immer um 5.
Wenn man hingegen 2) anwendet, so wird die Differenz mit (-1) multipliziert.

Eine Beispielsgleichung für den Fall 1)->1)->2) wäre also:
((3-5)-5)*(-1)=7

Eine andere, für 2)->1)->2) wäre:
((3*(-1))-5)*(-1)=8.

Soweit bin ich also schon, jetzt muss ich nur noch zeigen das diese Gleichung für beliebige Anwendungen von 1) oder 2) nie 0 sein kann.

Noch eine Sache die mir aufgefallen ist: Anfangs hat jeder eine Gesamtanzahl von 27 Murmeln, und jedes Mal wenn 1) angewendet wird, verringert sich die Anzahl der Murmeln um 1. Also muss ich zusätzlich berücksichtigen, dass nach genau 17 Anwendungen von 1) und n-Anwendungen von 2) niemand 5 grüne und 5 Weiße Murmeln haben kann.

Leider weiß ich ab hier nicht mehr weiter, da ich diese Aufgabe ja durch Induktion beweisen soll.

LG,

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