Frage von dreamerdk, 30

In welchen Fällen kann eine 2x2 Matrix trotzdem diagonalisiert werden, wenn die Eigenwerte reel und GLEICH sind?

Antwort
von Melvissimo, 15

Sagen wir, A ist eine diagonalisierbare 2x2-Matrix mit einzigen Eigenwert a. 

Dann muss das charakteristische Polynom von A gerade (X - a)² sein.

Da A diagonalisierbar ist, muss das Minimalpolynom von A in paarweise verschiedene Linearfaktoren zerfallen. Ferner muss jeder dieser Faktoren ein Teiler vom charakteristischen Polynom sein. D.h. das Minimalpolynom lautet

m(X) = (X - a). 

Wir wissen, dass m(A) = 0 sein muss (so ist das Minimalpolynom definiert). 

D.h. (A - a * Id) = 0, wobei Id die 2x2-Einheitsmatrix ist. 

Das bedeutet aber, dass A = a * Id, d.h. A ist selbst die Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen 2-mal A stehen hat. 

D.h. die einzigen diagonalisierbaren 2x2-Matrizen mit 2 gleichen Eigenwerten sind selbst schon Diagonalmatrizen.

Kommentar von Melvissimo ,

Das bedeutet aber, dass A = a * Id, d.h. A ist selbst die Diagonalmatrix, die auf der Diagonalen 2-mal A stehen hat.

Hier sollte natürlich stehen: "... die auf der Diagonalen 2-mal a stehen hat."

Antwort
von MartiniHarper, 30

Hallo,

wenn die algebraische Vielfachheit gleich der geometrischen ist.

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