Frage von WillibergiUsermod Junior, 93

In welchem Winkel müsste man einen 100g schweren Ball von einer Höhe von 1,80m abwerfen, um die maximale Wurfweite zu erreichen?

Mir ist mal wieder eine meiner grandiosen, unnützen Fragen eingefallen, die ich unbedingt beantwortet haben möchte.

Die Wurfbahn hat näherungsweise die Form einer (nach unten geöffneten, breiten) Parabel.

Sagen wir, der Mensch steht am Punkt s₀ und wirft einen Ball mit m = 0,2kg von einer Höhe von 1,80m ab.

Wäre die Wurfbahn exakt eine Parabel, müsste der Öffnungsfaktor nur nahe genug an 0 herankommen, damit die zweite Nullstelle unendlich weit weg ist.

Unendlich weit zu werfen, ist aber logischerweise physikalisch unmöglich.

Es spielen offensichtlich Luftreibung, Wurfkraft, Ballgewicht, Erdanziehungskraft, etc. eine Rolle.

Da ich aber physikalisch nicht ganz so gut veranlagt bin, muss ich euch fragen:

Der Ball hat einen Durchmesser von 4cm und ein Gewicht von 0,2kg.

Da ich keinen plausiblen Wert für die Wurfkraft eines Menschen gefunden habe, muss ich diesen als Variable verwenden.

Die Luftreibung des (angenommen perfekt runden) Balls müsste doch auch einfach zu berechnen sein.

Ich habe aber absolut keinen blassen Schimmer, wie...

Wie berechnet man also, in welchem Winkel man den Ball abwerfen muss bzw. wie groß die Steigung am Punkt s₀ sein muss, damit der Ball maximal weit fliegt?

Danke im Voraus. ;)

LG Willibergi

Antwort
von rr1957, 23

zu dieser Frage können Dir die Ballistiker der Artillerie ausführlich weiterhelfen ...  :-)

Beim menschlichen Ballwurf kannst Du fast alles vernachlässigen und die Antwort ist 42 ... aeh nein, 45°, im Rahmen der möglichen Genauigkeit der Ausführung

Wenn Du dagegen Kanonen anschaust, dann spielt auch noch der Luftdruck und seine Abnahme mit der Höhe eine Rolle, und auch die Erdkrümmung (und deswegen ist es eben theoretisch schon möglich, unendlich weit zu "werfen").

Auch die Rotation und Oberflächenstruktur des Geschosses oder Balls ist m.E. nicht zu vernachlässigen. (z.B. Golfbälle haben diese Grübchen, weil sie dadurch weiter fliegen ...)

Antwort
von lks72, 41

Ohne Luftwiderstand geht das so: x(t) = vx0 • t = v0 • cos(Alpha) • t, und y(t) = h + vy0 • t -1/2 • g • t^2 = h + v0 • sin(Alpha) • t -1/2 • g • t^2.
Am Ziel ist y(t) = 0, also die Gleichung nach t auflösen, negative Lösung fällt weg, dann hast du ein Ergebnis für t, was von v0, alpha und h abhängt. Alpha ist die gesuchte Variable, also ableiten nach Alpha und Extremwert für t bestimmen. Wegen der Linearität ist das dann auch der Extremwert für x(t)

Kommentar von lks72 ,

Mit Luftwiderstand hast du zwei Differentialgleichungen (da der Luftwiderstand quadratisch mit der Geschwindigkeit eingeht, und zwar immer genau der Geschwindigkeitskomponente, die exakt der momentanen Flugrichtung entgegenfesetzt ist) Dieses System von Differentialgleichungen ist analytisch wohl nicht lösbar, das macht man numerisch mit einem entsprechenden Programm.

Kommentar von Willibergi ,

Erst mal danke! ;)

Die Bedeutung der Variablen macht mir gerade etwas zu schaffen.

x(t): x-Wert? Wenn ja, wovon?
y(t): y-Wert? Wenn ja, wovon?
x₀: x-Wert der Abwurfstelle?
v₀: Geschwindigkeit an der Abwurfstelle?
t: Zeit? Was hat die damit zu tun?
h: Höhe - wovon?
g: höchstwahrscheinlich Erdbeschleunigung

LG Willibergi

Kommentar von lks72 ,

h ist die Abwurfhöhe. t ist die Zeit, x(t) ist die x Koordinate des Balls nach t Sekunden, y entsprechend. v0 ist die Anfangsgeschwindigkeit, vx0 ist die x Komponente der Anfangsgeschwindigkeit, und dies ja v0 • cos(alpha), wobei alpha der Winkel gegen die Horizontale ist.

Antwort
von SCHR3IB3RLlNG, 53

Für den Abwurfwinkel, den man erreichen muss um die maximale Länge eines Wurfes zu erreichen, gilt: 45°
Die "Wurfparabel" ist eigentlich nur nahezu eine Parabel, sie wird eigentlich gen Aufprallpunkt gestaucht. Dies hat, ganz recht bemerkt, etwas mit dem Luftwiderstand zu tun.

Und wenn du versuchst, einen beliebigen Ball in einem 45°, 50° und 40° Winkel abzuwerfen, unter konstanten Bedingungen, wirst du definitiv herausfinden, dass ein kleiner Längenunterschied zwischen den drei Versuchen vorherrscht, und der 45°-Winkel-Versuch die längste Strecke zurücklegt.

Bei einem Ball gilt das auf jeden Fall, bei Speeren und dergleichen bin ich mir nicht so sicher.

Kommentar von Willibergi ,

Gibt es dafür einen Beweis bzw. eine Herleitung?

LG Willibergi

Kommentar von gfntom ,

Die Herleitung -  insbesondere für Abwurf und Ziel auf gleicher Höhe - ist relativ einfach (und für den Fall dass Ziel niedriger als Abwurf ist, leicht anpassbar):

Du hast - Luftwiderstand vernachlässigt - 2 überlagerte Bewegungen:
Das eine ist der Wurf: eine geradlinige Bewegung. Sei v die Abwurfgeschwindigkeit  und a der Abwurfwinkel, so gilt:

Höhe h1(t) = v*t*sin (a)
Distanz d(t) = v*t*cos (a)

Gleichzeitig "fällt" das Geschoss entsprechend dem Freien Fall:
h2(t) = -g/2 * t²

für die Höhe h(t) gilt daher in Summe:
h(t) = v * t * sin (a) - g/2 * t²

setzt man h(t) = 0 so erhält man für t=0 den Zeitpunkt des Abwurfs, für t = 2*v*sin(a)/g den Zeitpunkt des Landens.

Dieses t eingesetzt in d(t) = v*t*cos (a) ergibt für die erreichte Distanz:
d = v * cos (a) * 2*v*sin(a)/g = 2 * v² * sin(a) * cos (a) / g

Bei gegebener Abschussgeschwindigkeit ist die Wurfweite also am größten, wenn sin (a) * cos (a) ein Maximum ergibt. Dies ist bei 45° der Fall.

Kommentar von lks72 ,

Die 45 Grad stimmen nur, wenn Abwurf und Ziel auf gleicher Höhe sind.

Antwort
von burninghey, 45

Ich habe mal gelesen, dass ein Wurf im 45° Winkel immer am weitesten fliegt.

Kommentar von Willibergi ,

Gibt es dafür einen Beweis bzw. eine Herleitung?

LG Willibergi

Antwort
von gilgamesch4711, 16

 Die Extremalbedingung

    X  (  t  ;  ß  )  =  v0  t  cos  (  ß  )  =  max      (  1a  )

     Wir haben die Nebenbedingung

   Y  (  t  ;  ß  )  =  1.8  +  v0  t  sin  (  ß  )  -  g / 2  t  ²  =  0    (  1b  )

   Zur Anwendung kommt das von Giuseppe Lodovico Spaghettix Lagrangia da Torino angegebene Verfahren; der ===> Lagrangeparameter sei k . Wir bilden die Linearkombination 

   H  (  t  ;  ß  )  :=  X  (  t  ;  ß  )  +  k  Y  (  t  ;  ß  )   (  2  )  

   Notwendige Bedingung für größte Wurfweite: Der Gradient von H muss verschwinden

   H_ß  =  v0  t  [  k  cos  (  ß  )  -  sin  (  ß  )  ]  =  0     (  3a  )

          k  =  tg  (  ß  )    (  3b  )

   k hat also eine anschauliche Bedeutung.

   H_t  =  v0  cos  (  ß  )  +  k  [  v0  sin  (  ß  )  -  g  t  ]  =  0     (  4a  )

    k einsetzen aus ( 3b )

       g  t  cos  (  ß  )  =  v0     (  4b  )

   Damit haben wir die Extremwertaufgabe gelöst; jetzt kommt die mühselige Nachbereitung. Einsetzen von t aus ( 4b ) in ( 1b )

  1.8 cos  ²  (  ß  )  +  ( v0 ² / g ) sin ( ß ) cos ( ß ) - ( v0 ² / 2 g ) = 0

     Gäbe es den inhomogenen Term 1.8 nicht, würde sich v0 heraus kürzen; und mit dem ===> Additionsteorem bekämst du sin ( 2 ß ) = 1 .

   Erstens hängt unser Winkel von v0 ab; und zweitens ist diese Gleichung der Art kompliziert, dass nicht mal Wolfram einen Ansatz findet.

Antwort
von josef050153, 9

45 Grad ist die Lösung.

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