Frage von Mrgamble7, 56

In welchem Quadranten kann die komplexe Zahl z^2 liegen, wenn die komplexe Zahl z im 3. Quadranten liegt?

Antwort
von ProfFrink, 56

z^2 liegt entweder im 1. oder 2. Quadraten.

Begründung: Das Argument, also der Zeigerwinkelwinkel von z liegt im 3. Quadranten.

Heisst  180° < phi  < 270°

Quadrieren bedeutet die Verdoppelung des Arguments

360° < phi2 < 540°           540° - 360° = 180°

Äquivalent:   0° < phi2 < 180° 

Somit liegt das Quadrat von z "oben" also im 1. und 2. Quadranten.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 49

ich denke mal im 1. Quadranten

zB -3-2i im 3. Quadr.

und (-3-2i)² = 5+6i im 1. Quadr.

Antwort
von poseidon42, 56

z im 3. Quadranten -----> z = (-1)*(x+yj)   [mit Re(z)= -x  und Im(z)= -y ]

(x,y >= 0)

z^2 = (x+yj)^2 = x^2 + 2xyj -y^2 = (x² - y²) + 2xyj

-----> (x² - y²) kann größer oder kleiner Null werden. 

-----> 2xyj aufgrund von (x,y >= 0) ist der Im(z²) >= 0 

-----> der Imaginärteil ist positiv

-----> 1. und 2. Quadrant

Kommentar von poseidon42 ,

Beispiel wäre:

z = -1 - 5j 

---> z² = (1 - 5²) + (-1)(-5)j = -24 + 5j   [2. Quadrant]

z = -4 - 2j

---> z² = (16 - 4) + 8j = 12 + 8j  [1.Quadrant]

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