Frage von MatheArtur, 42

In dem Bild sieht man das Viereck ABCD. AE/EC=DF/FB=2. Flächeninhalt von ABCD ist 18. Wie viel ist das Flächeninhalt von EBCF?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von kreisfoermig, 25

Die Antwort ist 1/4 von 18 = 4,5 ME. Ich beweise das später aber ich zeige dir zunächst wie du schnell auf diese Antwort kommst (in Matheolympiard) ohne Beweis. Man argumentiert psychologisch:

SCHRITT 1. (Psychologisch) Die Antwort muss unabhängig von der Form des äußeren 4-Eck sein. Wenn doch, dann hätten die mehr angegeben (Winkel, Seitenlängen oder sowas), sonst wäre die Antwort uneindeutig (es gäbe keine einzige Zahl, sondern Zahlen+Bedingungen) und die Antworten in einem solchen Wettbewerb sind meistens eindeutige Zahlen. Darum gilt bei jedem solchen 4-Eck

Verhältnis der Flächeninhalte
Ver := innere:äußere = c

für eine Konstante c ∈ (0,∞).

SCHRITT 2. Man betrachte den „Extremfall“, wenn das 4-Eck deformiert wird in ein perfektes Quadrat. Deformiere in deinem Kopf! Was passiert? Das innere 4-Eck wird zu einem 3-Eck (deswegen sag ich „Extremfall“ in Anführungsstrichen, da es kein echter Fall ist), und hier gilt das Verhältnis der Flächeninhalte
      Ver (Extremfall) = 1/4

SCHRITT 3. Nun aber kann es durchaus sein, dass das Verhältnis des Limes der Enddeformierung nicht gleich dem Limes des Verhältnisses der deformierten 4-Ecke. Aber man beobachtet, dass man für beliebig kleines ε>0 ein „fast“-perfektes Quadrat finden kann, sodass das innere Objekt noch ein 4-Eck bleibt und deshalb gelten:

A. Ver = c, da es um einen normalen Fall geht
B. |Ver – Ver(Extremfall)|<ε,
da die Flächeninhalte in der Deformierung
beliebig nahe liegen zu den Flächeninhalten
des Extremfalls.

SCHRITT 4. Da A+B für beliebig kleines ε>0 gilt, folgt aus 2+3

      c = 1/4.

ZUSAMMENGEFASST. Der Flächeninhalt des inneren 4-Ecks ist also in allen Fällen sowie insbesondere in unserem Falle gleich 1/4 von 18, also 4,5ME.

Ein richtiger Beweis folgt später. Dieses Argument ist aber gültig unter der psychologischen Annahme in Schritt 1, und diese Annahme wird gelten in einem Mathewettbewerb, wenn nach einer eindeutigen Lösung verlangt wird.

Antwort
von kreisfoermig, 11

Bezeichne mit X das Kreuzprodukt und mit e den Einheitsvektor, der aus der Eben (dem Blatt) senkrecht hervorragt. Für ein 3-Eck mit 2 Seiten gegeben durch Vektoren u, v auf der Ebene, solange die Seite mit Vektor v nach der Seite mit Vektor u im Uhrzeigesinne folgt (d. h. der Winkel von u nach v ist zw. 0 und 180), so gilt ½·u X v = ƒ·e, wobei ƒ=Flächeninhalt des Dreiecks. 

Satz. Betrachte nun ein beliebiges konkaves 4-Eck ABCD mit Ecken A, B, C, D (in dieser Reihenfolge im Uhrzeigesinne). Man zeichne zwei quer liegenden Gerade AC und BD. Sei M der Schnittpunkt. Der Flächeninhalt, ƒ, des 4-Ecks ist gegeben durch die Summe der 4 Dreiecke AMB, BMC, CMD, DMA, also mit den Mitteln oben gilt:

ƒ·e = ½(  MA x MB + MB x MC
+ MC x MD + MD x MA )
= ½( -AM x -BM + -BM x MC
+ MC x MD + MD x -AM )
= ½( AM x BM + MC x BM
+ MC x MD + AM x MD )
= ½( AM x (BM+MD) + MC x (BM+MD) )
= ½(AM+MC) x (BM+MD)
= ½ AC x BD

Darum erhalten wir das Resultat: ƒ = ||AC x BD||, das heißt

Flächeninhalt eines 4-Ecks
= ½·Norm des Kreuzproduktes
der zwei Vektoren der quer
verlaufenden Geraden. ⊣

Folgerung. Angewandt auf dein Problem gilt:

Flächeninhalt des ÄUßEREN 4-Ecks
= ½||AC x DB||
Flächeninhalt des INNEREN 4-Ecks
= ½||EC x FB||
= ½||½AC x ½DB||
= ½·½·½||AC x DB||
= ¼·½||AC x DB||

Darum gilt

Verhältnis der Flächeninhalte
innere:äußere
= 1/4

wie im anderen Beitrag. Darum gilt

Flächeninhalt des inneren 4-Ecks
= ¼·18 = 4,5 Einheiten.

QED.

Kommentar von kreisfoermig ,

P. S: diese Version finde ich sehr langweilig. Mein ersterer Ansatz ist ehrlich gesagt mathematisch mehr interessant, da man etwas meta-spieltheoretisch an das Problem herankommt.

Antwort
von Alison1363, 31

Must du selbst ausrechnen. Wir machen nicht deine Mathehausaufgaben ;-)

Kommentar von MatheArtur ,

1.Das ist keine Hausafgabe.Das ist zu schwer für eine Hausaufgabe.

2.Ich habe versucht.Ich hab nicht hingekriegt. 

Antwort
von Oxym1996, 21

Derjenige welcher die aufgabe löst soll doch bitte den lösungsweg genau preisgeben...

Kommentar von kreisfoermig ,

Den kannst du oben lesen ; ) Einmal das langweile Ausrechnen, und einmal geschickter mit etwas AnaIysis und Logik/Spieltheorie (auf die Metaüberlegung über das Problem).

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