Frage von Mathefragt, 15

Identität einer Funktion bestimmen / Trigonometrische Funktionen?

Wir haben diese Aufgabe in der Uni bekommen, leider habe ich keine Ahnung von Identitäten von Funktionen. Kann mir jemand die Aufgabe lösen und den Lösungsweg kurz erklären?

Vielen Dank

Antwort
von Khoonbish, 7

Du musst halt zeigen, dass die Gleichung

sinh(ln(x+sqrt(x²+1))) = x für alle x€IR gilt.

Das bedeutet ja aber, dass sinh^(-1)(x) = ln(x+sqrt(x²+1)) sein muss.

Sagen wir y = sinh^(-1)(x) => x = sinh(y) = (e^y-e^-y)/2

2x = e^y - e^(-y)  <=> 2xe^y = e^(2y) - 1  <=> (e^y)² - 2x*e^y - 1  = 0

Mit z := e^y, also z² - 2x*z -1 = 0.

Das kannst du mit der pq-Formel lösen und danach resubstituierst du z = e^y wieder und nimmst ln() auf beiden Seiten.

Antwort
von varlog, 9

Lösungsweg erklären ja, lösen kannst du die aber selber. Das ist durchaus selbst mit Schulwissen machbar. Ich denke du brauchst nur einen Denkanstoß.

Eine Funktion ist eine Identität, wenn jedes x auf sich selbst abgebildet wird. D.h. wenn f eine Identität ist heißt das, dass für alle x gilt f(x)=x. Jetzt sollst du zeigen, dass sinh(ln([...])) eine Identität ist. Also dass wenn du ein xi rein gibst in die Funktion, du das gleiche xi wieder raus bekommst.

Wie macht man das? Ganz einfach durch Umformungen. Schau dir die Defintion von sinh an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Hyperbelfunktion

Setze für z ln([...]) ein. e^ln([...]) hebt sich auf. Summe auf einen Hauptnenner bringen, Klammern auflösen, kürzen, fertig.

Ziel ist also sinh(ln([...])) so umzuformen, dass am Ende nur noch xi dasteht.

Antwort
von densch92, 8

Prinzipiell nimmst du den Term auf der linken Seite und zeigst durch einige Zwichenschritte dass der gleich dem auf der rechten Seite ist.

Bei einer Aufgabe wie der, musst du wahrscheinlich die ein oder andere Formel für sinh und ln auftreiben und benutzen. :-/

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