Frage von Enilaaa, 49

Ich verstehe meine Mathe Hausaufgaben nicht. Es geht um exponentielles Wachstum modellieren. Wie komme ich bei 24*e^k*5=259 auf die Lösung das k=0,4758 ist?

Antwort
von poseidon42, 17

Also ganz allgemein:

Sei f(x) = a*e^(k*x + t)  , wobei x nun das Argument von der Funktion f(x) ist. 

Du möchtest nun nach k umformen, dies funktioniert so:

f(x) = a*e^(kx+t)  II *1/a

f(x)/a  = e^(kx+t)   II ln(x) 

[ Der ln(x) ist die Umkehrfunktion von e^x , das heißt nicht anders als dass der natürliche Logarithmus zu jedem Wert u dir den Exponenten von e^x liefert, so dass gilt e^x = u  .

(Achtung, u muss positiv sein !!!) 

Also zum Beispiel:  ln(e) = 1  , da e^1 = e      und ln(1) = 0  , da e^0 = 1  oder ln(e^2) = 2 , da e^2 = e^2 . 

Nun kennen wir ja folgendes Potenzgesetz:

(e^x)^k = e^(x*k)  

Dies bedeutet doch, dass wenn ich nun irgendeine Zahl, sagen wir mal e^j   habe, so wäre der Logarithmus davon: ln(e^j) = j*ln(e) 

Also "j mal den benötigten Exponenten", dies gilt für jede Zahl und kann auf jeden Exponenten innerhalb des Logarithmus angewendet werden, also:

ln( u^k) = k*ln(u)   ]   

Berücksichtigen wir nun all dies, so erhalten wir die Lösung:

f(x)/a  = e^(kx+t)   II ln(x) 

ln ( f(x)/a )  = ln[ e^(kx+t) ]    

ln ( f(x)/a )  = (kx+t)*ln(e)   II ln(e) = 1

ln ( f(x)/a )  = kx+t     II -t

ln ( f(x)/a ) - t  = kx    II *1/x

(ln( f(x)/a ) - t)/x  = k

Damit hättest du dann k berechnet. Also, um deine Aufgabe zu lösen musst du alle diese Rechenschritte auf diese Gleichung anwenden, oder du setzt hier einfach ein:

x = 5

f(5) = 259

a = 24

t = 0 

Dann erhälst du für k:

k = 0.475754846...

Kommentar von Enilaaa ,

Sehr ausführlich danke :)

Expertenantwort
von Rhenane, Community-Experte für Mathe, 23

24*e^(5k)=259       |:24
e^(5k)=10,79167   |ln(..)
5k=ln(10,79167)    |:5
k=ln(10,79167)/5=0,4758

Kommentar von Enilaaa ,

Vielen Dank :)

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