Frage von OmikronEpsilon, 61

Ich verstehe Mathe nicht, kanns mir wer erklären?

Wir haben heute Mathewiederholung und keiner aus der Klasse kann den Stoff erklären. Kann jemand bitte die Rechnungen am Foto erklären? Danke schonmal:)

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, Mathematik, Schule, 9

Hallo,

bei einer gebrochen rationalen Funktion wie dieser besteht der Funktionsgraph aus einer Hyperbel, deren Verhalten einmal für x gegen plus und minus unendlich sowie für x gegen 2 berechnet werden muß.

Da der Nenner aus dem Term x-2 besteht, ist die Funktion für x=2 nicht definiert (Division durch Null). Es ist also interessant zu erfahren, wo die Funktion hingeht, wenn man sich der Asymptote x=2 von links und von rechts nähert.

Um das Verhalten von (x+2)/(x-2) für x gegen unendlich herauszubekommen, reicht es schon, die höchsten vorkommenden Potenzen von x durcheinander zu teilen, also x/x=1 zu rechnen.

Da dann aber der Lehrer meckert, machst Du es auf die lange Tour:

Du erweiterst die Funktion mit (1/x)/(1/x) und erhältst
f(x)=(x/x+2/x)/(x/x-2/x)=(1+2/x)/(1-2/x)

Wenn x nun gegen unendlich geht, geht 2/x gegen Null und es bleibt 1/1=1 als Grenzwert für x gegen plus und minus unendlich übrig.

y=1 ist somit die waagerechte Asymptote.

Beim Verhalten für x gegen 2 gehst Du etwas anders vor.

Du führst eine Variable h ein, die gegen Null gehen soll.

Für das Verhalten der Funktion, wenn man sich der Stelle x=2 von rechts nähert, rechnest Du (2+h+2)/(2+h-2)=(4+h)/h

Wenn h unendlich klein (aber nicht Null) wird, geht der Zähler gegen 4, also gegen eine positive Zahl, während der Nenner gegen Null geht.

Wenn eine positive Zahl aber durch eine sehr kleine andere positive Zahl geteilt wird, geht sie gegen plus unendlich.

Wenn Du Dich von links näherst, rechnest Du (2-h+2)/(2-h-2)=(4-h)/(-h)

Auch hier bleibt im Zähler die 4, wenn h gegen Null geht. Diesmal wird sie aber durch -h geteilt.

Eine positive Zahl, die durch eine sehr kleine negative Zahl geteilt wird, geht gegen minus unendlich.

Nun weißt Du, daß der Hyperbelast, der sich der Asymptote x=2 von rechts nähert, gegen plus unendlich geht, während der andere, der sich von links nähert, gegen minus unendlich geht.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von DinoMath, 23

im gesamten Bild gibts 1 Definition, 6 Behauptungen, eine Skizze und eine wirkliche Rechnung: (n+2)/(n-2) = (1 + 2/n) / (1 - 2/n) bzw jeweils limes n gegen unendlich davon = 1/1 = 1.

Was genau ist dir denn unklar? weil viel gerechnet wurde da nicht, hingegen spielt da ohne Ende Hintergrundwissen mit rein und ohne ne Konkrete Frage muesste man damit anfangen zu erklaeren was Zahlen sind und wie Addition definiert ist etc pp. das sprengt den Rahmen und sonst muessen wir raten was dir helfen koennte eure Verwirrungen aufzuloesen.

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