Frage von ZoneDestruction, 94

Ich verstehe die „quadratische Ergänzung" nicht. Kann mir das jemand schrittweise erklären?

Bitte mit  einer Beispielaufgabe

Danke für alle Antworten

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Schule, 42

Das ist eigentlich wirklich keine schwere Sache.

Bei der quadratischen Ergänzung möchte man die allgemeine Form der Parabelgleichung ax² + bx + c in die Scheitelpunktform a(x-d)² + e umwandeln.
Ich werde das dir jetzt mal an einem Beispiel versuchen zu erklären:

f(x) = 2x² + 6x + 16

Zuerst musst du den Faktor a ausklammern, damit vor dem x² keine Zahl mehr steht. Den Parameter c (hier 16) lässt du einfach außen vor.

f(x) = 2(x² + 3x) + 16

Die erste binomische Formel besagt ja, dass (a+b)² = a² + 2ab + b². Das a² ist hier das x², das 2ab ist 3x, d. h. 2b ist 3 und b ist die Hälfte von 3, also 1,5. Um die binomische Formel nun rückwärts anwenden zu können, brauchen wir aber noch den Parameter b, der in der Klammer nicht vorhanden ist. Also addieren wir ihn einfach dazu, quadrieren ihn und ziehen danach genau dasselbe wieder ab, damit wir den Term nicht verändern. Das Abziehen ist wirklich wichtig!

f(x) = 2(x² + 3x + 1,5² - 1,5²) + 16

Jetzt haben wir etwas dazugezählt und wieder abgezogen. 1,5² - 1,5² ergibt 0, das scheint hier erst etwas hirnrissig. Ist es aber nicht. Jetzt müssen wir nämlich aus x² + 3x + 1,5² die erste binomische Formel rückwärts auflösen.
Erinnerung: a² + 2ab + b² = (a+b)²
Also haben wir x² + 2*1,5*x + 1,5² = (x+1,5)².
Das können wir jetzt einfach so in die Klammer schreiben.
(Achtung: Doppelklammer!)

f(x) = 2 [(x+1,5)² - 1,5²] + 16

Jetzt müssen wir noch die eckige Klammer ausmultiplizieren.

f(x) = 2*(x+1,5)² + 2*(-1,5)² + 16

Wenn wir die Zahlen jetzt ausrechnen, steht folgendes da:

f(x) = 2(x+1,5)² + 4,5 + 16
      = 2(x+1,5)² + 20,5

Und da haben wir schon die Scheitelpunktform. War doch gar nicht so schwierig, oder? :)

Also nochmal zusammengefasst: Was musst du tun?

  1. evtl. den Faktor vor der x² ausklammern
  2. Das Quadrat der Hälfte des Wertes vor dem x dazuzählen und wieder abziehen
  3. Die binomische Formel rückwärts anwenden
  4. Die lange Klammer ausmultiplizieren
  5. Alle Zahlen zusammenrechnen

Der erste Punkt ist optional - wenn eine Gleichung wie x² + 2x + 8 dasteht, musst du das natürlich nicht tun.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen - wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach.

LG Willibergi

PS: Eigentlich sollte man keine verschiedenen Klammerntypen verwenden - ich habe das der Übersichtlichkeit halber hier trotzdem getan.

Kommentar von ZoneDestruction ,

Danke für diese schöne Antwort, nun Blicke ich viel eher durch! :) Nur eine Frage habe ich: Bei dem einen Schritt, wo wir 1,5²-1,5² gerechnet haben kam ja 0 raus, aber wieso ist denn die 1,5² später wieder als vorletze Zahl wieder in der Gleichung? f(x)= 2((x+1,5)²-1,5²)+16

Kommentar von Willibergi ,

f(x)= 2((x+1,5)²-1,5²)+16
Hier nochmal die Umkehrung der ersten binomischen Formel:
a²+2ab+b² = (a+b)²
In der Klammer steht aber ja folgendes:
x² + 3x + 1,5² - 1,5²
Das a ist in diesem Fall das x; das b ist die 1,5
D. h. mit a und b ausgedrückt steht in unserer Klammer das:
a² + 2ab + b² - b²
Also können wir das -b² außen vor lassen, denn die binomische Formel umfasst nur die ersten drei Operanden.
Daraus wird dann (a+b)² - b².
Deshalb müssen wir die -1,5² an Ende auch wieder ausmultiplizieren. (s. Schritt 4)
LG Willibergi

Kommentar von ZoneDestruction ,

Dankeschön :)

Kommentar von Willibergi ,

Gern geschehen!
LG Willibergi

Kommentar von Willibergi ,

Danke für den Stern!
LG Willibergi

Antwort
von Monsieurdekay, 41

also die Idee ist ja, dass du eine Scheitelpunktform haben willst, die so aussehen soll

a(x-d)^2+e

und (x-d)^2 entsteht durch die binomischen Formel, also nach Umformung aus x^2-2xd+d^2

Nun hast du aber meistens eine Normalform, die nicht der fett gedruckten entspricht, also musst du durch diesen Trick "quadratische Ergänzung" diese Form erzeugen...

z.B. bei x^2-4x+2

die Form ist fast perfekt, nur stört die 2 hinten, also ergänzt du eine 4 und ziehst sie aber gleich anschließend wieder ab, damit sie im Endeffekt wieder zu 0 wird

also x^2-4x+4-4+2      4-4 gibt 0 und entspricht der Form oben, jetzt kannst du aber eine Klammer drum rum machen

(x^2-4x+4) -4+2   und jetzt steht in der Klammer die Form der binomischen Formel und daraus wird dann:

(x-2)^2 -2  

Kommentar von ZoneDestruction ,

Okay, danke das hab ich jetzt soweit verstanden, doch wie funktioniert das wenn vor dem x² noch eine Zahl steht? bsp.: (2x²-4x+2)

Kommentar von Monsieurdekay ,

du teilst einfach alles durch 2 und schreibst dann:

f(x)/2 = x^2-2x+1      und jetzt einfach ausrechnen und wenn du die Scheitelpunktform hast, musst du am Ende wieder mit 2 multiplizieren, damit aus f(x)/2 wieder f(x) wird

Antwort
von fjf100, 16

Beispielrechnung : y=f(x)=3*x^2-12*x +13

ergibt y=3 *(x^2 - 4 * x) +13  binomische Formel (x-b)^2=x^2 - 2*b*x +b^2

hier ist 2 * b * x=4 * x also ist 2*b=4 und somit b=2 und b^2=4

eingesetzt y= 3 *(x^2 - 4 * x + 4 - 4) +13 hier b^2=4 die -4 musste hinzugefügt werden,weil sonst die Gleichung verändert worden wäre, 4-4=0 dies ist die "quadratische Ergänzung.

nun die -4 ausklammern 3*-4=-12

y=3 *(x^2-4 *x + 4)-12 +13=3*(x^2 - 4 *x + 4) + 1

binomische Formel  x^2 - 4 * x + 4 =(x- 2)^2 eingesetzt

ergibt y=f(x)= 3 *(x^2 - 2)^2 + 1

Scheitelkoordinaten bei  x= 2 und y=1

Kommentar von ZoneDestruction ,

Danke schonmal für diese schöne Antwort. Beim ersten Schritt, dort wo du die Gleichung in Klammern setzt, wurde aus der 12 eine 4, warum? Muss man die 12x durch die 3x nehmen, oder wie?

Kommentar von fjf100 ,

3*(x^2 - 4 * x)=3 *x^2 - 4 * 3 *x=3 *x^2 - 12 *x

-12/3= -4

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 19

am besten gibst du ein Beispiel aus der Schule, an dem ihr die quadr. Ergänzung vornehmen solltet.

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