Frage von minesweeper501, 36

Ich verstehe die "eingekreiste" umformung nicht kann das jemand erklären?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 14

Das ist die Anwendung der Kettenregel plus Auslassung von ein paar "trivialen" Schritten.

Hier werden die Funktionen

u(z) = √(z)

und

v(z) = z²

verkettet zu

(u ∘ v)(z) = √(z²)

was natürlich die Identität ist, aber auf diese Weise kommt man durch Anwendung der Verkettungsregel der Differentialrechnung auf den folgenden Ausdruck, der in gewissem Sinne leichter handhabbar ist.

x∥ bezieht sich hier auf die übliche Norm

x∥ = √(x₁² + x₂² + ...)

Antwort
von kreisfoermig, 14

Die abzuleitende Funktion steht in polar Koordinaten (r,ø,…), aber die Ableitung ist bzgl. des kartesischen Variablensystems (x1, x2, …). Deshalb übersetze man die Funktion ins kartesische, um die partielle Ableitung leichter zu berechnen:

(∂/∂xi) r = (∂/∂xi) √r²
= 1/2√r² · (∂/∂xi) r²
= 1/2r · (∂/∂xi) ∑xj²
= 1/2r · 2·xi
… da (∂/∂xi) bzgl.
Variablensystem {x1,x2,…}
= xi/r

Darum gilt grad(r) = ∑ (∂/∂xi) r · ei = ∑ xi/r · ei = x / r.

Kommentar von minesweeper501 ,

wow danke super

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