Frage von tommy40629, 75

Ich verste Gleichungen nicht, warum muss man plus und minus x rechnen?

Ich verste einfach diese Gleichungen nicht, also wo man die y und x und so weiter hatt.

So was: 3x+4=10

Unser Lehrer hatt die ganze zeit von einer Wage gesprochen. Und dann hatt er von Äkwilenz, Äkwilenzen oder so was gesprochen. Ich habe das wort noch nie gehört.

Meine Mutter ist total durchgedreht als sie mir das erklärt hatt. Ich hab es einfach nicht verstanden.

Ich habe hier eine Aufgabe aus dem Heft

10x+5=30+5x | -5

10x =25+5x | -5x

5x=25 |: 5

x=5

Probe: 105+5=30+55 50+5=30+25 55=55

Ich fersteh die Probe, da hab ich aber auch kein x.

Ich weis einfach nicht, was ich mit x machen soll.

Man rechnet immer plus x und minus x, aber warum? Warum macht man das so?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 14

Äquivalenz (gesprochen Äkwiwalents) ist das lateinische Wort für "Gleichwertigkeit".

Hier geht es darum, dass zwei Gleichungen dieselben Lösungen haben.

(Später mehr davon)

-----

Wenn man auf beiden Seiten einer Gleichung dasselbe macht, ändert sich nichts daran, dass die rechte und die linke Seite gleich sind.

Beispiel:

2 + 2 = 4

Wir addieren auf beiden Seiten 5:

2 + 2 + 5 = 4 + 5

Oder, wir subtrahieren auf beiden Seiten 3:

2 + 2 - 3 = 4 - 3

Oder, wir multiplizieren beide Seiten mit 7:

(2 + 2) * 7 = 4 * 7 (beachte, dass wir hier die Klammern brauchen)

Oder auch, wir subtrahieren beide Seiten von einer bestimmten Größe:

6 - (2 + 2) = 6 - 4 (beachte, dass wir hier die Klammern brauchen)

-----

Das geht natürlich auch, wenn eine Variable in der Gleichung steht..

Gehen wir aus von der Gleichung

x = 2

Dann gilt auch

4 + x = 4 + 2 (die Reihenfolge der Summanden ist ja egal)

oder auch

3 * x = 3 * 2

Wir können die rechte Seite auch ausrechnen:

3 * x = 6

Diese Gleichung können wir auch weiter bearbeiten:

3 * x + 4 = 6 + 4

3 * x + 4 = 10

Das ist die Gleichung, die du als erstes Beispiel genannt hast.

-----

Normalerweise geht es darum, Gleichungen nach den Unbekannten "aufzulösen", d. h. so umzustellen, dass die Unbekannte für sich allein auf einer Seite steht.

In dem Beispiel, das ich gerade verwendet habe, ist das gerade der Rückweg von der gegebenen Gleichung.

Die Schwierigkeit besteht nun darin, herauszufinden, wie man den aktuellen Schritt rückwärts machen kann.

Nehmen wir wieder die Gleichung

3 * x + 4 = 10

Mit Klammern geschrieben zum Verdeutlichen:

(3 * x) + 4 = 10

In dieser Form sieht man leichter, in welchem Teilausdruck die Unbekannte x steckt, nämlich in (3 * x).

(Glücklicherweise ist das nur ein einziger Teilausdruck, das dürfte die nächsten Tage auch so bleiben, aber später kommt es immer öfter vor, dass die Unbekannte in mehreren Teilausdrücken steckt. Dann muss man sich Tricks einfallen lassen, wie man diese Teilausdrücke "zusammenfasst".)

Links haben wir jetzt

(3 * x) + 4

Am einfachsten ist es natürlich, wenn wir uns um den Teilausdruck kümmern, in dem das x nicht steht, das ist hier die 4.

Wie werden wir hier die 4 los?

In diesem Fall wissen wir von oben, dass wir auf beiden Seiten eine 4 addiert haben. Das sieht man in diesem Fall dem linken Ausdruck auch an.

Die Umkehrung von "addiere 4" ist "subtrahiere 4" - das ist also der erste Schritt des Rückwegs.

Aus

(3 * x) + 4 = 10

wird damit

((3 * x) + 4) - 4 = 10 - 4

"+ 4" und "- 4" heben sich gerade auf - so haben wir die "Operation" "- 4" ja gewählt.

Wir rechnen beide Seiten der Gleichung so weit wie möglich aus. Erst die linke Seite:

((3 * x) + 4) - 4 = (3 * x) + 4 - 4 beim Addieren kann man Klammern weglassen

(Noch deutlicher wäre, statt "- 4" zu schreiben: "+ (-4)", aber das ist vermutlich wieder komplizierter.)

(3 * x) + 4 - 4 = (3 * x) + 0 = (3 * x) = 3 * x

Damit haben wir auf der linken Seite

3 * x

Die rechte Seite ist einfach:

10 - 4 = 6

Damit wird aus der Gleichung

((3 * x) + 4) - 4 = 10 - 4

die Gleichung

3 * x = 6

Ich setze wieder Klammern zum Verdeutlichen:

3 * (x) = 6

Wieder haben wir links einen Teilausdruck mit x und einen Teilausdruck ohne x.

Wieder wollen wir den Teilausdruck ohne x loswerden.

Hier steht "3 *". Was ist die Umkehrung von "multipliziere 3 mit einem Wert"?

Offensichtlich ist das gerade "teile den Wert durch 3".

Damit wird aus der Gleichung

3 * (x) = 6

die Gleichung

(3 * (x)) / 3 = 6 / 3

Wieder rechnen wir beide Seiten aus.

Links nutzen wir aus, dass a * b = b * a ist:

(3 * (x)) / 3 = ((x) * 3) / 3

Auch dies können wir vereinfachen zu

(x)

bzw. einfach

x

Die rechte Seite ist wieder einfach.

Ergebnis:

x = 2

Hier steht die Unbekannte x allein auf einer Seite der Gleichung, d. h. die Gleichung ist "aufgelöst".

-----

Nehmen wir dein Beispiel aus dem Heft:

10 * x + 5 = 30 + 5 * x

Mit Klammern:

(10 * x) + 5 = 30 + (5 * x)

Dummerweise haben wir hier zwei Teilsusdrücke, in denen x vorkommt; auf jeder Seite der Gleichung einen.

Wir brauchen aber, dass alle x in einem einzigen Teilausdruck stehen.

Wie werden wir nun einen dieser Teilausdrücke los?

Jetzt kommt das Wesen der Algebra: Wir können mit Unbekannten rechnen, weil wir wissen, dass sie Zahlen sind, wenn wir auch nicht wissen, welche Zahlen im Einzelfall.

Rechts haben wir als Ausdruck mit x

(5 * x)

Auch das ist ein unbekannter Ausdruck, mit dem wir rechnen können.

Dieser Ausdruck ist mit einem "+" an den übrigen Term (Ausdruck) auf der rechten Seite angehängt.

Die Umkehrung von "addiere einen Wert" ist "subtrahiere diesen Wert" - unabhängig davon, ob man den Wert kennt oder nicht.

Wir ziehen also auf beiden Seiten der Gleichung diesen Ausdruck (5 * x) ab:

((10 * x) + 5) - (5 * x) = 30 + (5 * x) - (5 * x)

Rechts hebt sich "+ (5 * x)" und "- (5 * x)" gerade auf, d. h. rechts bleibt nur noch

30

übrig.

Links ist es komplizierter:

((10 * x) + 5) - (5 * x) = (10 * x) + 5 - (5 * x) (Assoziativgesetz der Addition)

= (10 * x) - (5 * x) + 5 (Kommutativgesetz der Addition)

= ( (10 * x) - (5 * x) ) + 5 (Assoziativgesetz der Addition)

= ( (10 - 5) * x ) + 5 (Distributivitätsgesetz)

= (5 * x) + 5 (10 - 5 ausgerechnet)

Damit wird aus der obigen Gleichung

(5 * x) + 5 = 30

Weiter können wir genau wie oben vorgehen - wir haben nur andere Zahlen.

(5 * x) = 30 - 5 = 25

x = 25 / 5 = 5

(Ich habe hier die Reihenfolge genommen, die ich bevorzuge und auch für leichter nachvollziehbar halte - im Heft habt ihr erst alle Zahlen ohne x nach rechts geholt und dann alle Teilausdrücke mit x nach links.)

-----

Jetzt wieder zurück zum Thema "Äquivalenz" (Äquivalenzumformung):

Nicht jede "Operation" ist umkehrbar, also ist auch nicht jede Umformung eine Äquivalenzumformung.

Bekanntlich kann man nicht durch 0 teilen. Das liegt daran, dass irgendwas mal 0 immer 0 ergibt; man kommt von der 0 also nicht wieder zu dem irgendwas zurück.

Nehmen wir wieder das Beispiel

x = 2

Hier können wir für x 2 einsetzen und die Gleichung wird wahr, für alle anderen Werte falsch.

Wir multiplizieren beide Seiten mit 0 - auch dann bleiben beide Seiten nach wie vor gleich:

x * 0 = 2 * 0

irgendwas * 0 ist 0, also:

0 = 0

Das ist natürlich wahr, bringt aber nix. Wir können ja nichts mehr über x aussagen.

Wir können für x einsetzen was wir wollen, in der Gleichung sehen wir es nicht; die Gleichung bleibt immer wahr.

Also auch für z. B. x = 3.

Aber aus der ursprünglichen Gleichung wird, wenn man x = 3 einsetzt,

3 = 2

was offensichtlich falsch ist.

Die Multiplikation beider Seiten mit 0 ist also keine Äquivalenzumformung.

Kommentar von tommy40629 ,

Ich guge mir das zusamen mit meiner Mutter an sie sieht dann vieleicht das ich es verstehen will.

Antwort
von Elfi96, 25

Ich versuche es mal zu erklären.

Deine Beispielaufgabe:

Man löst immer nach X auf, also  nach dieser unbekannten Komponente. 10x bedeutet eigentlich: 10 mal eine bestimmte Zahl.

10x+5=30+5x | -5 

10 mal eine bestimmte unbekannte Zahl plus 5 ist genausoviel wie 30 pus 5 mal diese bestimmte unbekannte Zahl. 

Dein Lehrer hat es ja mit einer Waage verglichen. Auf beiden Seiten dieser Waage (= dem gleich- Zeichen) muss das gleiche vorhanden sein. Deshalb wird in diesem Beispiel die hinzuaddierte Zahl 5 auf beiden Seiten dieser Waage abgezogen.

10x =25+5x | -5x

Hier geht es weiter, um die Gleichung zu verkürzen. 10 mal diese bestimmte unbekannte Zahl sind genauso viel wie 25 plus 5 mal diese bestimmte unbekannte Zahl. Also ziehen wir 5 mal diese bestimmte unbekannte Zahl auf beiden Seiten ab. Dann bekommen wir:

5x=25 |: 5 

Wir wollen ja wissen, welche bestimmte unbekannte Zahl sich in dieser Gleichung versteckt, daher teilen  wir auf beiden Seiten die übriggebliebene Zahl durch 5.

x=5

Jetzt hast du die Gleichung nach X, also  nach einmal dieser bestimmten unbekannten Zahl aufgelöst und kennst jetzt diese vormals bestimmte unbekannte Zahl. 


LG

Antwort
von Karoline02, 20

Es geht darum, die gleichung zusammenzufassen.
Du willst wissen was x isz. Das = sagt aus, dass beide seiten gleich sein müssen. Du willst also am ende stehen haben x=....
Dafür muss das x alleine auf einer seite stehen.
Nehmen wir an, deine aufgabe ist 2x +5 = 15
Du willst das die 2 und die fünf weggehen. Also musst du sie auf beiden seiten abziehen. Dazu drehst du das Vor zeichen um also :
+ wird zu - und andersrum und ÷ wird zu × und andersrum. Also rechnest du auf beiden seiten -5 . +5 -5 ist gleich 0 also ist die 5 auf der einen seite weg. Da aber auf beiden seiten gleichviel sein muss rechnest du auch 15-5 das ist dann zehn. Deine gleichung sieht jetzt so aus : 2x =10. 2x heißt ja 2× x. Aus die 2 muss weg also rechnest du jetzt alles durxh 2.
2x ÷2 = 1x bzw x und 10÷2 = 5. Dein ergebnis ist somit x = 5

Antwort
von frodobeutlin100, 6

X ist der gesuchte Wert, den Du ausrechnen sollst .. genausogut könnte dort ein Fragezeichen stehen ....

um X auszurechnen, muss die Gleichung so umgestellt werden, dass zum Schluß das X auf der einen Seite des Gleichheitszeichens und der Wert von X auf der anderen Seite des Gleichheitszeichens steht ...

dazu führt man die einzelnen Rechenschritte aus ...

 3x+4=10

könnte man auch so formulieren

(mit was muss man 3 mal nehmen = 3x) plus 4 ergibt 10

10 -4 ergibt 6

(mit was muss man 3 mal nehmen = 3x) ergibt also 6

6 geteilt durch 3 - ergibt 2

x ist also 2

wenn man 2 in die ursprüngliche Gleichung einsetzt steht da

(3 mal 2) plus 4 = 10

....

und es heißt eben Gleichung weil auf beiden Seiten im Grunde das gleiche steht ... auf der einen Seite der Rechenweg und auf der anderen Seite das Ergebnis .. bzw. am Ende auf einen Seite X und auf der anderen Seite der Wert von X

Antwort
von Dimmii, 37

Du musst x positiv auf eine Seite bekommen. X ist das wo du herausfinden willst.

Kommentar von tommy40629 ,

Danke, aber ich bin total fertig mit den Nerfen.

Kommentar von Dimmii ,

Ich komme in Gleichungen gut draus wenn du hilfe brauchst melde dich

Antwort
von Luksior, 10

Äquivalenz heißt einfach, dass du vor und hinter dem = das Gleiche machst, z.B. auf beiden Seiten minus 5 oder mal 3 rechnest. Das Ziel ist es, den Wert von x herausbekommen, das heißt, x steht für eine Zahl, die du nicht kennst, aber berechnen kannst.

Angenommen, du hast die Gleichung

3x = 9

(also 3*x = 9) und suchst den Wert von x, dann kannst du auf beiden Seiten durch 3 teilen. Das bewirkt, dass auf der linken Seite 3x durch 3 geteilt wird und da 3 durch 3 = 1 ist, hast du links nur noch 1x, also x stehen. Auf der rechten Seite musst du auch durch 3 teilen und 9 durch 3 = 3. Nachdem du beide Seiten durch 3 geteilt hast, hast du also

x = 3

stehen. Die Probe heißt, dass du diesen Wert, also 3, in die Ausgangsgleichung, also die Anfangsgleichung, einsetzt. Bei 3x = 9 ersetzt du x durch 3 und erhältst 3*3 = 9, also 9 = 9, was eine wahre Aussage ist. Setzt du z.B. x = 2 oben ein, dann würdest du 3*2 = 9, also 6 = 9 erhalten, was eine Falschaussage ist. x = 2 kann dann nicht das Ergebnis sein.

Wenn du in deinem Fall z.B. so eine Gleichung hast:

4x+9 = 2x+7

dann machst du einfach wieder jeweils das Gleiche, bis du auf einer Seite x und auf der anderen eine Zahl stehen hast. Das Problem ist, dass hier auf beiden Seiten ein x und auf beiden eine normale Zahl steht. In diesem Fall musst du dafür sorgen, dass das x auf einer der beiden Seiten (welche, suchst du dir aus) und die Zahl auf der anderen Seite verschwindet. Ziehst du also 2x von beiden Seiten ab, so erhältst du

2x+9 = 7

und die 2x auf der rechten Seite sind verschwunden. Jetzt "entfernst" du noch die Zahl auf der linken Seite, du ziehst also auf beiden Seiten 9 ab.

2x = -2

Teilst du nun durch 2, so erhältst du

x = -1
Antwort
von Kohlauflauf, 29

3x+4=10 | -4

3x=6 | :3

1x=2

Antwort
von Anonymkenan, 21

1. Heist es äqiuvalent:D

2. Musst du die x e auf eine seite und die zahlen auf eine seite ...

3. Was du mit x machen sollst :D nix?

Kommentar von tommy40629 ,

äqiuvalent ok, das schreibe ich mir auf

Das verste ich gar nicht. Oh mein Got!! 

Kommentar von adabei ,

"äquivalent" heißt einfach "gleich". D.h. die Zahlen auf der linken Seite müssen den Zahlen auf der rechten Seite entsprechen.

Bei deiner einfachen Aufgabe: ("x" ist die unbekannte Zahl, die du herausfinden sollst.)

3 mal x + 4 = 10

3 mal x = 10 - 4 (Wenn du die Zahl vier also auf die andere Seite bringst, musst du sie abziehen)

3 mal x = 6 (In der Zahl 6 sind also drei "x" enthalten)

x = 6 : 3

x = 2

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community