Frage von TechnikSpeziUsermod, 51

Ich stecke beim bestimmen der Nullstellen fest - wie muss ich nun vorgehen?

Ich bin dabei, von der Polynomdarstellung (PD) in die Linearfaktordarstellung (LFD) umzuformen.

Die Polynomdarstellung: f(x) = x^4 + 2x³ - 4x² -8x

Meine Schritte nun:

  1. Ausklammern: x ( x³+2x²-4x-8)

  2. Die Faktoren einzeln lösen: x = 0 v x³+2x²-4x-8 = 0

Soweit bin ich also nun:

x1 = 0 v x³+2x²-4x-8 = 0

Jetzt weiß ich allerdings nicht mehr, wie ich weiter vorgehen soll. PQ Formel geht nicht, Weiter ausklammern geht nicht. Substituieren geht glaube ich auch nicht, da bin ich mir aber nicht sicher. Aber dann wäre ja x² = z. Wie viel z wären dann das x³? Geht substituieren? Wenn ja, wie?

Die Lösung habe ich übrigens schon auf dem Blatt :

LFD: f(x) (x+2)² ● x ● (x-2)

Diese LFD ergibt sich halt aus den Nullstellen, die ich berechnen muss. Aber ich weiß halt nicht wie.

Wie komme ich nun darauf?! Wie muss ich vorgehen?

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 10

f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 8 * x

x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 8 * x = 0

Ein x lässt sich ausklammern -->

x * (x ^ 3 + 2 * x ^ 2 - 4 * x - 8) = 0

Weil irgend etwas mit Null multipliziert wieder Null ergibt,deshalb ist der gesamte Ausdruck Null, wenn einer der Terme Null ist, deshalb ist eine der Nullstellen x _ 1 = 0

Nun musst du die Nullstellen des anderen Terms ausrechnen -->

x ^ 3 + 2 * x ^ 2 - 4 * x - 8 = 0

Nun fertigst du erst mal eine Wertetabelle an -->

-10 → -768

-9 → -539

-8 → -360

-7 → -225

-6 → -128

-5 → -63

-4 → -24

-3 → -5

-2 → 0

-1 → -3

0 → -8

1 → -9

2 → 0

3 → 25

4 → 72

5 → 147

6 → 256

7 → 405

8 → 600

9 → 847

10 → 1152

Du kannst sehen, dass bei x = -2 und x = 2 Nullstellen sind.

Du hast also schon 3 Nullstellen beisammen -->

x _ 1 = 0

x _ 2 = -2

x _ 3 = +2

Die multiplikative Verknüpfung der Linearfaktoren ist -->

x * (x + 2) * (x - 2) = x ^ 3 - 4 * x
Nun musst du eine Polynomdivision durchführen -->
https://www.youtube.com/results?search_query=Polynomdivision
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm
(x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 8 * x) / (x ^ 3 - 4 * x) = (x + 2)
(x + 2) ist ein weiterer Linearfaktor, die dazugehörige Nullstelle liegt bei x = -2
Da wir schon eine Nullstelle haben, bedeutet das, dass bei x = -2 eine sogenannte doppelte Nullstelle liegt.
Die Funktion f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 8 * x lautet in Linearfaktordarstellung folgendermaßen -->
f(x) = x ^ 4 + 2 * x ^ 3 - 4 * x ^ 2 - 8 * x = x * (x + 2) * (x + 2) * (x - 2)
Die 4 Nullstellen lauten also in neu sortierter Reihenfolge -->
x _ 1 = 0
x _ 2 = - 2
x _ 3 = - 2
x _ 4 = + 2
Kommentar von DepravedGirl ,

Irgendwie, hat GF meine Leerzeilen zwischen manchen Sätzen zerstört, die ich gesetzt hatte um die Lesbarkeit zu erhöhen, aber daran kann ich nichts ändern ;-((

Antwort
von UlrichNagel, 27

Du musst die nächste Nullstelle gedanklich suchen. Es muss ein teiler von -8 sein, damit die Division aufgeht! Mit dieser machst du dann die Polynomdivision! (Fang mit 1 an und gehe höher!)

Kommentar von TechnikSpezi ,

Okay, verstehe ich alles noch grob. Allerdings haben wir die Polynomdivision gerade noch rausgelassen und ebenso haben wir es nicht einmal gehabt, die Nullstellen gedanklich zu suchen.

Klar, das wäre jetzt nicht so schwer. Aber das würde in der Klausur nur Punkte abziehen, weil wir halt alles genau aufschreiben müssen, bis jetzt zumindest. 

Selbst wenn dort x² = 0 steht, müssen wir auch noch schriftlich die Wurzel ziehen und schreiben x = 0... 

Geht das auch anders? Ich habe die Aufgabe sowieso einfach von einem alten Blatt, wo zufällig mehrere PD & LFD drauf stehen. Ist halt gut zum Üben, weil ich dann auch die Lösungen habe. Allerdings war es dort nie die Aufgabe, umzuformen. Von daher kann das natürlich sein, dass wir das noch nicht können müssen, sofern es denn nicht anders geht.

Weil wie gesagt, gedanklich die Nullstellen bestimmen als auch Polynomdivision hatten wir nicht.

Kommentar von UlrichNagel ,

Wenn es rechenbar ist, musst du auch den Lösungsweg angeben! bei x³ UND einer Konstanten kann man eben nur die nächste Nullstelle als Teiler der Konstanten erraten!

Kommentar von TechnikSpezi ,

Dann scheint mir dieses Beispiel auch anhand von den anderen Antworten wirklich eins gewesen zu sein, was wir gar nicht umformen müssen. Dort standen ja auch schon beide Darstellungen... 

Dann brauche ich hier gar nicht weiter zu machen. Danke! :)

Antwort
von AnonYmus19941, 22

polynomdivision, da führt kein weg drum herum...

Kommentar von TechnikSpezi ,

Die hatten wir noch nicht, dann scheint es wohl ein Beispiel zu sein, dass wir noch nicht können müssen.

Trotzdem Danke! :)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 19

oder so.

Kommentar von TechnikSpezi ,

Okay, aber das hatten wir auch noch nicht. Soweit sind wir noch gar nicht gegangen. Aber wie schon unten geschrieben:

Ich habe die Aufgabe sowieso einfach von einem alten Blatt, wo zufällig mehrere PD & LFD drauf stehen. Ist halt gut zum Üben, weil ich dann auch die Lösungen habe. Allerdings war es dort nie die Aufgabe, umzuformen, sondern nur Min, Max... zu bestimmen. Von daher kann das natürlich sein, dass wir das noch nicht können müssen, sofern es denn nicht anders geht. Ohne das Schema, ohne Polynomdivision. 

Ich habe auch gestern schon alle 5 Arten die wir können müssen gelernt. Dabei passt das wie hier auch nirgendswo beim Satz von Nullprodukt. 

Von daher scheint es wohl so, als wäre dieses Beispiel wirklich einfach unpassend, sodass wir das noch nicht brauchen ;)

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