Frage von xDkimixD, 31

Ich soll die Folge b1 = 1 bn+1= bn+2/bn+1 auf Monotonie, Beschränktheit und Konvergenz untersuchen. Wie stelle ich das jetzt am besten an?

Antwort
von ralphdieter, 4

Ich schaue die Folge momentan am 'richtigen' Computer an. Ohne Klammern ist sie ja ziemlich frei interpretierbar (meine Kommentare von gestern abend sind vermutlich etwas daneben).

Wahrscheinlich meinst Du eine der folgenden Varianten:

  1. bₙ₊₁ = bₙ + 2/bₙ + 1 ⇒ 1, 4, 11/2, 151/22 ... (→∞)
  2. bₙ₊₁ = bₙ + 2/(bₙ+1) ⇒ 1, 2, 8/3, 106/33, ... (→∞)
  3. bₙ₊₁ = (bₙ+2)/bₙ + 1 ⇒ 1, 4, 5/2, 14/5, 19/7, ... (→1+√3)
  4. bₙ₊₁ = (bₙ+2)/(bₙ+1) ⇒ 1, 3/2, 7/5, 17/12, ... (→√2)

Monotonie prüfst Du mit bₙ₊₁>bₙ (steigend) oder bₙ₊₁<bₙ (fallend). Bei 3. und 4. widerlegst Du Monotonie mit den ersten Folgegliedern.

Beschränktheit ist etwas schwieriger, weil bₙ ja auch im Nenner vorkommt. Finde eine obere und untere Schranke und zeige, dass alle Nachfolger daraus auch in diesem Intervall liegen. Bei 3. tut's zum Beispiel 2<bₙ<4: ⇒ (2+2)/4+1<bₙ₊₁<(4+2)/2+1 passt prima. Folge 1. ist offensichtlich unbeschränkt, da bₙ₊₁-bₙ>1. Bei 2. wird's etwas schwieriger — außer Du darfst die Unbeschränktheit der Reihe Σ(1/n) verwenden.

Konvergenz folgt zwar sofort aus Monotonie und Beschränktheit, aber das klappt hier ja in keinem Fall. Die Divergenz von 1. und 2. folgt sofort aus deren Unbeschränktheit. Und bei 3. und 4. dürfte es am einfachsten sein, den Fixpunkt f zu berechnen und dann zu zeigen, dass bₙ₊₁ näher dran liegt als bₙ: |bₙ₊₁-f|<|bₙ-f|.

Kommentar von xDkimixD ,

Vielen Dank :) Ich schaue mal, was mir Montag dazu erklärt wird! Du hast mir sehr geholfen 

Antwort
von EtechnikerBS, 7

Inwiefern ist das eine Folge?

Kommentar von xDkimixD ,

bn+1 = bn+2/bn+1 ist die Folge und dazu ist noch b1=1 gegeben

Kommentar von EtechnikerBS ,

Ahh ok das hilft ;)

Also wenn man sich die ersten Elemente mal anschaut sind die ja:

1;3/2;5/3;7/4;9/5...

Als Formel also: 2*n-1/n. Der Grenzwert für n->unendlich ist also 2.

Die Folgeglieder werden kontinuierlich größer also ist sie monoton.

Sie ist auch beschränkt, da der Wert ja gegen 2 geht.

Den Begriff konvergenz kenne ich eigentlich nur von Reihen. Würde man aus dieser Folge eine Reihe bilden, wäre sie natürlich nicht konvergent, da ja immer 2 addiert wird, sie wird also für n->unedlich auch gegen unedlich streben.

Kommentar von xDkimixD ,

Vielen Dank :) Bei uns wurde definiert, dass wenn eine Folge beschränkt und monoton ist, dass sie auch konvergent ist. Aber deine Antwort hat mir schon sehr viel weiter geholfen.

Kommentar von EtechnikerBS ,

Ahh ok. Gut zu hören.

Immer gerne

Kommentar von ralphdieter ,

Achte auf die Indizes! Ich sehe hier die Folge 1, 4, 9, 16, 25, …

Kommentar von ralphdieter ,

Quatsch! Alle Glieder sind 1: b(n+1)²=b(n+2) – (falls mein Tablet keine Sonderzeichen unterschlägt)

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten