Frage von island92, 47

ich soll die Bogenlänge von f(x) = (x-4/9)^(3/2) berechnen?

f(x) = (x-4/9)^(3/2)

zuerst bilde ich die Ableitung, da die Formel für die Bogenlänge ist Wurzel (1 + f´(x)²)

f´(x) = 3/2(x-4/9) ^(1/2) | Bei Ableitung bilde ich erst den Kehrtwert und ziehe nach 1 ab, oder?

einfügen in die Formel:

Wurzel(1 + [3/2(x-4/9) ^(1/2)²] | so nun muss ich alles ²nehmen, richtig?

Wurzel(1 + [9/4(x²-16/81)^(1/4)])

jetzt muss ich die Gesamte Wurzel integrieren, richtig?

(1 + [9/4(x²-16/81)^(1/4)])^(1/2) |das sieht schon ziemlich verworren aus, stimmt das noch?

nun bilde ich das Integral:

2/3 (1 + [9/4(x²-16/81)^(1/4)])^(3/2)

Stimmt dies?

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 29

Hallo,

da hast Du Dich ein wenig vergaloppiert. Zum Glück ist es ein wenig einfacher:

f(x)=(x-4/9)^(3/2)

f'(x)=1,5*√(x-4/9) (Kettenregel)

[f'(x)]²=2,25*(x-4/9)=2,25x-1

Die Bogenlänge ist also gleich ∫√(1+2,25x-1)=
∫√(2,25x)=1,5*∫√x=(3/2)*(2/3)*x^(3/2)=x^(3/2)+C

Nun mußt Du nur noch die Integrationsgrenzen einsetzen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von island92 ,


Wow - Danke! Das sieht schon viel einfacher aus!!


Allerdings zwei Fragen habe ich.


f(x)=(x-4/9)^(3/2)


f'(x)= (3/2) *√(x-4/9)


[f'(x)]²=9/4*(x-4/9)= 2,25x-1          | 9/4 = 2,25 in die Klammer multipliziert


( Ab hier verstech ich es nicht mehr wirklich, erst mein neuer weg, danach hab ich nochmal deinen mit den schwarz makierte Stelle, die ich nich verstehe)


 ∫√(1+2,25x-1)=  (hier hast du den Term einfach eingesetzt;1 -1 = 0)

∫√(2,25x)  =( 2,25x)^(1/2)  | Kettenregel + 1 Potenz und Kehrbruch nach vorne)

wäre 2/3 (2,25x)^(3/2) + C



Bei deiner Lösung

= 1,5*∫√x  (woher kommt das 1,5?)

=(3/2)*(2/3)*x^(3/2)    (warum verschwindet die 2,25x?)

=x^(3/2)+C


Danke dir!!




Kommentar von Willy1729 ,

Die 1,5 erhältst Du, wenn Du die 2,25 unter der Wurzel hervorholst, denn 2,25=1,5².

1,5=3/2 und (2/3)*(3/2)=1

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von island92 ,

aber muss man die 2,25 hervor holen? Bzw. was meinst du damit?

∫√(2,25x), mann kan doch einfach die 2,25 x zu (2,25x)^(1/2) umschreiben und dann regulär die Stammfunktion bilden, oder nicht?

Danke für deine Geduld.

Kommentar von Willy1729 ,

Hallo,

Du kannst die 2,25 auch unter der Wurzel lassen und mit integrieren. Ich rate aber immer dazu, konstante Faktoren möglichst vor das Integral zu stellen, weil die Sache dann übersichtlicher wird und Du schneller auf Standardintegrale kommst. Hier ist die 2,25 halt unter der Wurzel und wird außerhalb der Wurzel zu 1,5.

Meiner Meinung nach ist es angenehmer, einfach nur noch die Wurzel aus x zu integrieren und das Ergebnis später mit dem konstanten Faktor zu multiplizieren.

Willy

Kommentar von island92 ,

denke, das dies eine gewohnheitssache ist und auch eine von können^^

2/3*(2,25x)^(3/2)* 2,25 * C würde dies stimmen?

Kommentar von Willy1729 ,

*C stimmt schon mal nicht. Die Konstante wird addiert, weil man nicht weiß, ob sie vorher da war - sie verschwindet ja beim Ableiten. Ansonsten steht nach dem Integrieren nur noch x^(3/2) da; alles andere löst sich in Wohlgefallen auf.

Willy

Kommentar von island92 ,

so ich probiers nochmal hoffe du erweist mir nochmal geduld, ich würde am liebsten schon was zahlen...

Die Bogenlänge ist also gleich ∫√(1+2,25x-1)=

∫√(2,25x)   | dies schreibe ich zu 2,25x^(1/2) um

= 2,25x^(1/2)         | + 1 in der Potenz und * dem Kehrbruch

=(2/3)*2,25 x^(3/2)

was mach ich Falsch? Dies müsste doch eigentlich auch gehen??

Kommentar von Willy1729 ,

Du hast die 2,25 unter der Wurzel hervorgeholt, aber vergessen, daß der Faktor dann nur noch 1,5 lautet. Das ^(1/2) bezieht sich bei Deiner Rechnung nur noch auf das x.

Die Wurzel von (2,25*x) ist entweder (2,25*x)^(1/2) oder eben 1,5*x^(1/2), aber nicht 2,25*x^(1/2). Du hast den Fehler beim Umschreiben gemacht.

Du siehst, wie schnell sich Fehler einschleichen, wenn ein Faktor nicht gleich aus dem Integral geholt wird.

Kommentar von island92 ,

vielen Dank für die Geduld, ich habs verstanden. Ich hatte probleme einfach einen Wert aus Wurzel hervor zuholen, dabei muss man von diesem einfach nur die Wurzel ziehen -.-

Danke!

Kommentar von Willy1729 ,

Genau. Beim nächsten Mal fallen Dir solche Aufgaben leichter.

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