Frage von island92, 49

ich soll den Flächeninhalt zwischen zwei parablen bestimmen f(x) = x² - 2 und f(x) = -x² +2x +2 Lösungs(versuch) ist unten bei Details :?

ich soll den Flächeninhalt zwischen zwei parablen bestimmen

1.f(x) = x² - 2

Stammfunktion: F(x) = 1/3x³ -2x

f(x) = -x² +2x +2

Stammfunktion: F(x) =-1/3x³ + x² + 2x

so dafür muss man ja zuerst den Schnittpunkte berechnen

x² - 2 = - x² + 2x +2 -> x^4 -2x +4 = 0

aber wie komme ich denn nun auf meine "nullstellen" bzw. Schnittpunkte? x- ausklammern geht nicht, x² mit z subsituieren auch nicht, da nur 2x statt 2x², über 0 setzen und auflösen auch nicht, siehe unten.. also bleibt mir nur die Möglichkeit über ausprobieren oder?

x^4 - 2x = -4 /:2 x

^4 - x = - 2

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 11

Fläche zwischen 2 Kurven ist A= Integral ( f(x) - g(x)

f(x) ist die obere Begrenzung und g(x) ist die untere Begrenzung.

1. Schritt Schnittpunkte berechnen durch gleichsetzen  der beiden Funktionen f(x)=g(x)

Schnittpunkte bei x1= - 1 und x2= 2 hab ich mit meinen Graphikrechner (Casio) ermittelt. Solltest dir auch privat einen zulegen.

2. Schritt : Die Funktionen f(x) und g(x) in die Formel einsetzen

3. Schritt Ausrechnen und integrieren

4. Schritt A= obere Genze  minus untere Grenze mit xu und xo,sind die Schnittpunkte  

f(x) = - 1 *x^2 +2 *x +2 obere Begrenzung g(x)= x^2-2

eingesetzt A= Int. ( - 1 *x^2+2*x+2 ) - ( x^2 - 2) * dx ergibt

A= Int . (- 2 *x^2+2*x + 4 ) *dx integriert

A= - 2/3 * x^3 + x^2 + 4 *x + C 

A = obere Grenze minus untere Grenze 

xu= - 1 untere Grenze und xo= 2 obere Grenze

A= ( - 2/3 * 2^3 + 2^2 + 4 *2) - ( - 2/3 * (-1)^3 + (-1)^2+ 4 * (-1)

A= (6,666.). - ( - 2, 333..) = 8.999... = 9 FE

HINWEIS : Speziell bei dieser Formel,kann man über Nullstellen im Intervall (xu -xo) hinweg integrieren,weil vor g(x) ein Minuszeichen steht und somit die Flächen unter der x-Achse ein positives Vorzeichen bekommen und somit zu der Gesamtfläche addiert werden.

Kommentar von island92 ,

Danke für die ausführliche Erklärung:

ich hab jetzt nochmal alles nachgerechnet:

die Funktion müsste noch 2x² - 2x -4 lauten (Auch wie Volen schreibst?)

Damit wäre die Stammfunktion 2/3x³ - x² - 4x in den Grenzen von 2 und - 1

womit es - 20/7 - 7/3 = - 9 wäre. Aber eine Minus Zahl darf ja nicht raus kommen?

Hoffe du hast nochmal Zeit :)

Kommentar von fjf100 ,

Flächenberechnung zwischen 2 Funktionen

Formel A= Integral ( (f(x) - g(x)) * dx

f(x) ist die "obere Begrenzung"

g(x) ist die "untere Begrenzung"

Wenn nun f(x) und g(x) vertauscht werden,dann erhält das Ergebnis ein "Minuszeichen" 

Dies bedeutet : Man muss die  beiden Funktionen vertauschen,so das ein Ergebnis mit positiven Vorzeichen herauskommt.

MERKE : Der Betrag vom Ergebnis bleibt gleich  , nur das Vorzeichen ändert sich.

Antwort
von steineinhorn, 29

ehm... dass du die schnittpunkte brauchst ist richtig, aber wenn du die beiden gleichungen gleichsetzt und alles auf eine seite bringen willst, dann kommt da kein x^4 raus. x^2 + x^2 ergibt 2*x^2

wenn du es richtig auf eine seite gebracht hast, kannst du also einfach p-q-formel nehmen, um die schnittpunkte rauszubekommen

Antwort
von Peter42, 17

Das mit dem "Schnittpunkte berechnen" solltest du noch mal gründlich anmeditieren. Der Ansatz ist völlig richtig, aber die Nummer mit dem " x^4 " nimmt dir niemand(!) ab. 

Kommentar von island92 ,

ohweih - ist natürlich 2x² -2x -4.. -.-

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe, 20

x² - 2           =   -x² +2x        | + x² - 2x
2x² - 2x - 2  =   0                 | /2
  x² -   x - 1  = 0                                    p = -1         q = -1 

Damit musst du die Nullstellen berechnen, aber die ganze Funktion

f(x) = 2x² - 2x - 2           integrieren, und zwar von Nullstelle bis Nullstelle.

Das wird bei den beiden Nullstellen etwas unangenehm werden.
Versuch's mal.

Wenn du Probleme bekommst, schreib einen Kommentar-

Kommentar von island92 ,

Also um die Fläche von zwei funktionen zu bekommen muss ich zuerst diese gleichsetzen

x² - 2           =   -x² +2x  +2

-> 2x² -2x -4

Davon die Nullstellen berechen, dass ist sind dann meine Grenzen

x1 = -1

x2 = 2

Dann von dem Gleichgesetzen Term, das Integral bilden und dort setze ich dann die Nullstellen ein?

f(x) = 2x² - 2x - 2   
F(x) = 4x - 2

und wenn ich nun dort meine NS einsetzte kriege ich die Fläche?

Kommentar von Volens ,

So ist es. Aber gemacht hast du es nicht. ich habe dir p und q schon hingeschrieben, aber du hast keine Nullstellen errechnet.
Die p,q-Formel heißt:

x₁,₂ = -p/2  ± √((p/2)² - q)

Die musst du schon anwenden, sonst stimmt es nicht.

Die Integration ist auch nicht so toll.
Die 2 kannst du zwar ausklammern, aberx² = x³ / 3


Kommentar von Volens ,

Du hast abgeleitet statt integriert.

Versuch erst mal, die Nullstellen zu bekommen. Du kannst dich gern wieder melden.

Kommentar von island92 ,

Danke für die ausführliche Erklärung.

Stimmt ich habe dummerweise statt die Stammfunktion zu bilden abegleitet -..-

ich hab jetzt nochmal alles nachgerechnet und noch eine Frage

die Funktion lautet ja 2x² - 2x -4

Damit wäre die Stammfunktion [2/3x³ - x² - 4x] in den Grenzen von 2 und - 1

womit es - 20/7 - 7/3 = - 9 wäre, wenn man die Grenzen einfügt. Aber eine Minus Zahl darf ja nicht raus kommen?

Danke nochmal.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten