Ich soll das verhalten in der umgebung der definitionslücken bestimmen?

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2 Antworten

Bestimme zunächst, wo die Definitionslücke liegt.

Wie verhält sich die Funktion links der Lücke? Gegen welchen Wert strebt sie, wenn du dich von links der Lücke näherst? Welche Steigung hat sie links?

Das gleiche bestimsmt du für Näherung von rechts.

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Mit der Bestimmung des Verhaltens einer Funktion bei einer Definitionslücke ist die Bildung des Grenzwertes bei der jeweiligen DL gemeint.

Schritt 1: DL herausfinden - Bei gebrochen-rationalen Funktionen muss man eine Nullstellenbestimmung des Nenners durchführen.

(x+1)^2 = 0

x = -1

Schritt 2: Rechts- und linksseitiger Grenzwert bei der jeweilige Definitionslücke bilden:

lim(x->-1+){(2x-1)/(x+1)^2} = -3/lim(x->-1+){(x+1)^2} = +infinity

Der letzte Grenzwert ist positiv, nach Einsetzen von (-1)+ ein etwas größerer Wert als 0 rauskommt und der Grenzwert damit positiv ist.

lim(x->-1-){(2x-1)/(x+1)^2} = -3/lim(x->-1-){(x+1)^2} = +infinity

Hier genauso, (-1)- + 1 ist zwar kleiner als null, da der Wert allerdings quadriert wird, ist der Grenzwert hier ebenfalls positiv.

Wenn beide Grenzwerte gegen plus bzw. minus gehen, handelt es sich um eine Polstelle ohne VZW, dies ist bei dieesem Beispiel der Fall. 
(lim(x->x0+){f(x)}=+-inf;lim(x->x0-){f(x)}=+-inf)

Wenn die Grenzwerte in unterschiedliche Richtungen gehen, ist es eine Polstelle mit VZW. (lim(x->x0+){f(x)}=+-inf;lim(x->x0-){f(x)}=-+inf)

Bei einem Term in der Form (x+1)/(x^2-1) Gibt es DL bei -1 und 1.

Hier kannst du allerdings eine DL rauskürzen:

(x+1)/((x+1)(x-1))=1/(x-1)

Wenn du jetzt -1 einsetzt, erhälst du sofort den Grenzwert:

lim(x->-1){(x+1)/(x^2-1)} = -1/2

Außerdem ist vielleicht noch wichtig:

Bei der Bestimmung der Art der Definitionslücken ist es immer von Vorteil Zähler und Nenner zu faktorisieren.

In deinem Fall f(x)=2(x-0,5)/(x+1)^2.

Da der Term nun vollständig faktorisiert ist, lässt sich die Art der Definitionslücke bestimmen. Binome, die vollständig (nach dem Kürzen darf der Nenner keine Nullstelle an der jeweiligen Stelle haben) gekürzt werden können, sind stetig hebbare DL, Binome, die nach dem Kürzen im Nenner in gerader Potenz vorhanden sind, sind Polstellen ohne VZW und diejenigen, welche in ungerader Potenz vorhanden sind, sind Polstellen mit VZW.

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