Frage von ProMaNu, 24

ich soll das folgende Integral lösen " x³/(1+x^4) " mit den Grenzen 1 und 0 ... Lösungsversuch ist in den Details, hoffe mir kann da jemand helfen?

I = x³/(1+x^4) dx ... diese soll ich auch über die Subsi lösen

x³/(1+x^4)

u = 1 + x^4 du/dx = u´ u´ = 4x ³

du/dx = u´

I = x³/(u) du/4x³ | x³ kürzt sich| die 4 mit dem Kehrwert nach vorne

I= 1/4 * u

= 1/4 ( 1+x^4)) | u noch Integrieren

= 1/4 x + 1/5 x^5 + C

wenn ich nun die Grenze 1 einsetzte bekomme ich nun 0,2 raus allerdings lautet das Ergebnis ln(2)/4.... ?

Antwort
von seifreundlich2, 18

Sei das Integral aus x³/(1+x^4) im Intervall [0;1] nach x zu lösen.


S x³ / (1 + x^4) dx [0;1]


Substitution u(x) = 1 + x^4 => u'(x) = 4x³ = du/dx

<=> du/dx = 4x³ <=> du = 4x³ dx <=> du/4 = x³ dx


Mit u(x) = 1 + x^4 und du/4 = x³ folgt

S 1/4 * 1 / u du [u(0);u(1)] = 1/4 * S u^-1 du [u(0);u(1)]


Gemäss den Integrationsregeln gilt:

S 1/x dx = ln|x| + c


Angewendet auf das obige Beispiel gilt demnach

1/4 * S u^-1 du [u(0);u(1)] = 1/4 * ln(u) |[u(0);u(1)]


Die Resubstitution 1 + x^4 = u(x) liefert

S x³ / (1 + x^4) dx [0;1] = 1/4 * ln(1 + x^4) |[0;1] = 1/4 [ln(1 + 1) - ln(1)]

= 1/4 [ln(2) - 0] = 1/4 * ln(2) = ln(2)/4


------------

ln(1) = 0

Kommentar von island92 ,

sicher, dass dies stimmt? Hab grad die Frage endeckt und wir machen genau das selbe







Kommentar von seifreundlich2 ,

Ja, zu 99.99999999999999999999999999999%iger Wahrscheinlichkeit ist das richtig.

Kommentar von island92 ,

ich hätte pauschal eine Frage dazu, weil ich hättes komplett anders gelöst

S 1/4 * 1 / u du = 1/4 * S u^-1 du  = 1/4 * ln(u)  = 1/4 * ln(1 + x^4)

wie kommst du von (schwarz markiertes) S 1/4 * 1 / u du zu 1/4 * S u^-1 du

hätte man nicht auch weiterhin 1/4 S 1/1+x^4  du schreiben können?

Beziehungsweise

1/4 *1 / u  = 1/4 * 1/(1+ x^4)

dies integriert geschrieben heißt doch

1/4 * 1/2 * (1 + x^4) ^(1/2)?

Kommentar von seifreundlich2 ,
  • 1 / u ≡ u^-1
  • Da 1/4 konstant ist, darf dieser Faktor gemäss den Regeln für Integration vor das Integral gezogen werden.
  • Wenn du nach u integrierst (≘S 1/u du), darfst du kein x mehr drin stehen haben, da eben nicht nach x integriert wird. x wäre demzufolge konstant. Du substituierst ja den Term, damit du nach u du integrieren kannst. Hinweis: Grenzen umrechnen nie vergessen!

ACHTUNG:

1/4 ∫ 1/(1+ x^4) dx ≠ 1/4 * [1/2 * (1 + x^4)^(1/2)]

Erstens fehlt hier die innere Ableitung und zweitens wäre dies eher das Integral aus der gestürzten Wurzel

1/4 ∫ 1/√(1+ x^4) dx = 1/4 ∫ 1/(1+ x^4)^(1/2) dx = 1/4 ∫ (1+ x^4)^(-1/2) dx

Richtig wäre tatsächlich

∫ x³/(1 + x^4) dx = 1/4 ∫ 1/u du = 1/4 ln(u) + c = 1/4 ln(1 + x^4) + c

Kommentar von ITanfaenger93 ,

Danke für die ausführliche Erkärung. Aber könnte man sich es auch nicht erheblich einfacher merken, einfach den Vorfaktor vom Nenner vor das Integral schreiben + ln vom Nenner + C?

Danke!

Kommentar von seifreundlich2 ,

Man kann das vielleicht, die Frage ist nur, ob du das auch kannst.

Nicht "+ ln vom Nenner", sondern "⋅ ln vom Nenner", ja.

Das gilt dann aber nur für Beispiele dieser Art, wo also gerade ein Vielfaches der Ableitung des Nenners im Zähler steht, wobei der Nenner nicht aus jeder Art einer "Verkettung" von innerer und äusserer Funktion wie etwa aus einer Wurzel zusammengesetzt sein darf.

Ist zum Beispiel nach dem Integral

∫ cos(x) / sin(x) dx gefragt, folgt mit

u = u(x) = sin(x) => u' = u'(x) = cos(x) = du/dx <=> du = cos(x) dx

=> ∫ cos(x) / sin(x) dx = ∫ 1/u du = ln|u| + c = ln|sin(x)| + c.

Somit ist unsere obige "Regel" auf dieses Beispiel anwendbar.

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