Frage von benwolf, 15

Ich muss grade Faltungen lernen und komme überhaupt nicht zurecht. Bsp. Falten Sie x(t)=rect(t/6) mit sich selbst?

Wie mache ich das jetzt genau und richtig? Habe die Anleitungen im Internet einfach nicht verstanden, wäre also über eine Erklärung für Deppen dankbar. Ich weiß, dass ich das Signal drehe und drüberschiebe, aber wie komme ich auf die richtigen Bereiche und woher weiß ich, dass das Signal wieder abfällt?

Antwort
von PeterKremsner, 9

Zu Lösen ist also das Integral von -unendlich bist +unendlich von rect(tau/6)*rect((t-tau)/6) nach dtau.

Die Funktion fürs Rechteck ist:

0 wenn |t/6| > 1/2

1 wenn |t/6| <= 1/2 ist

Das kannst du jetzt umschreiben in:

0 wenn |t| > 3

1 wenn |t| <= 3

Folglich ist das Rechteck nur von -3 bis +3 1 und 0 sonst.

Sehen wir uns mal die Faltung an:

rect(tau/6)*rect((t-tau)/6) Die ist 0 sobald eines dieser Rechtecke 0 ist.

Weil t nicht bekannt ist können wir das nur fürs erste auswerten und sehen, dass diese nur von -3 bis 3 ungleich 0 ist.

Daher können wir das Integral umschreiben in:

Integral von -3 bis +3 von rect((t-tau)/6) dtau

Wenn du das Auswertest kommst du auf:

6-t wenn 0 <= t < 6

6+t wenn -6 < t < 0

und 0 überall sonst.

Diese Funktion die du hier siehst ist eine Dreiecksfunktion welche bei t= -6 beginnt den Maximalwert 6 bei t = 0 hat und bis t=6 wieder auf 0 abfällt.

Kommentar von benwolf ,

Ich verstehe einfach nicht wie du von Integral von -3 bis +3 von rect((t-tau)/6) dtau auf 6-t kommst oder 6+t. Da fehlt mir irgenwie etwas

Kommentar von PeterKremsner ,

Das kann man entweder wissen, weil es eine Eigenschaft dieses Integrals ist, oder herleiten indem man die Rechteckfunktion als die Differenz zweier Sprungfunktionen betrachtet.

Ein Rechteck mit der Breite 6 kann dargestellt werden als:

s(t+3)-s(t-3)

Das Rechteck rect((t-tau)/6) hat genau diese Breite 6 und der Faktor t - tau ist einfach nur eine Verschiebung entlang der x Achse.

Damit können wir dieses Rechteck so darstellen:

s(t - tau +3) - s(t - tau -3).

s ist hierbei die Heaviside Sprungfunktion.

Die Stammfunktion der Sprungfunktion ist:

0 für x < 0

x für x >= 0

Diese Funktion wird Rampenfunktion genannt.

Ich bezeichne sie einfach als r.

Somit müssen wir nach dem Hauptsatz der Differential und Integralrechnung die Folgende Funktion auswerten:

[-r(t - tau +3) + r(t-tau-3)] von tau = -3 bis +3

= r(t-3-3)-r(t-3+3)-r(t+3-3)+r(t+3+3) = r(t-6)-r(t)-r(t)+r(+6t) = r(t-6)-2r(t)+r(t+6)

Im Bereich -6 bis 0 haben wir nur die Funktion |t|.

Im Bereich 0 bis 6 haben wir die Funktion |t|-2|t| = -|t|

Im Bereich 6 bis unendlich haben wir |t| - 2|t| + |t| = 0

Somit kommen wir zur gesuchten Funktion.

Die Betragsstriche sind deswegen hier weil die +6 und -6 in den Rampenfunktionen nur Zeitverschiebungen sind, die Rampe geht aber immer gegen positive y Werte.

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community