Frage von Traeumelinchen1, 30

Ich möchte die Städte A, B und C (die nicht auf einer Geraden liegen)mit einer Eisenbahn verbinden. Wie löse ich das Problem mit möglichst wenig Schienen?

Antwort
von ralphdieter, 4

Die Aufgabe hat's in sich! Mein allgemeiner Ansatz als Optimierungsproblem verlief nicht sehr erfolgreich (siehe Bild). Einfacher wird's im gleichschenkligen Dreieck:

Die Gleise von A und B verlaufen hier in einem Winkel von ±30° zur Basis c. Sie treffen sich unter einem Winkel von 120° und gehen von dort weiter zur Spitze C. Ist das Dreieck flacher als 30°, dann ist A—C—B die kürzeste Verbindung. Das lässt sich alles ziemlich leicht nachrechnen.

Ich vermute, dass dies allgemein gilt: Ist ein Winkel im Dreieck größer als 120°, dann sind dessen Schenkel die kürzeste Verbindung. Andernfalls bilden die Gleise einen "Mercedes-Stern", der durch alle drei Eckpunkte geht. Der Stern ist eindeutig, und sein Zentrum liegt innerhalb des Dreiecks.

Aber Vorsicht beim Nachprüfen: Elliptische Gleichungen können Ihre Psyche
belasten. Zu Risiken und Nebenwirkungen lesen Sie ein Mathebuch und fragen Sie ihren Arzt oder Mathelehrer.

Kommentar von latricolore ,

Ich wusste es schon immer: Mathe ist tödlich! :-)))

Kommentar von ralphdieter ,

Mit meiner Vermutung lag ich richtig: Das Dingens heißt Fermat-Punkt.

https://de.wikipedia.org/wiki/Fermat-Punkt

Kommentar von latricolore ,

Glückwunsch! :-)

Kommentar von ralphdieter ,

Wofür? Dass ich letzte Nacht von einem "Radi-Punkt" geträumt habe? War wohl nix :(

Kommentar von latricolore ,

Ich nehm's mit dem tiefsten Bedauern zurück.

Antwort
von claushilbig, 10

Wenn ich mich recht erinnere, erhältst Du die optimale Lösung, wenn Du im Dreieck ABC die Winkelhalbierenden einzeichnest und jeweils die Gleise von den Ecken zum gemeinsamen Schnittpunkt legst - natürlich müssen dann im Schnittpunkt entsprechende Weichen vorhanden sein, damit man in die jeweils gewünschte Richtung weiterfahren kann.

Kommentar von ralphdieter ,

Grrr. Ich habe versucht, das zu beweisen. Dafür, dass Du mich auf die falsche Fährte geführt hast, schuldest Du mir jetzt drei Bleistifte und zwanzig Blatt Karopapier!

Kommentar von claushilbig ,

Stimmt das nicht?

Ich habe es nicht allgemein bewiesen, aber mit GeoGebra gezeichnet und nachgemessen, da war das die optimale Lösung ...

Kommentar von claushilbig ,

Außerdem habe das Problem schon mal irgendwo mit Lösung gelesen, und da war - wenn ich mich eben recht erinnere! - diese Lösung angegeben.

Kommentar von ralphdieter ,

Stimmt das nicht?

Leider nein! Der gesuchte Punkt heißt "erster Fermat-Punkt" oder "Fermat-Torricelli-Punkt".

Kommentar von claushilbig ,

Sorry, das tut mir leid - dann war entweder

  • meine Erinnerung falsch, oder
  • das Rätsel, das ich gelesen hatte, war ein Spezialfall (z. B. ein gleichseitiges Dreieck), in dem die beiden Punkte zufällig zusammenfallen, oder
  • die Lösung, die ich gelesen hatte, war eigentlich nur eine Näherung, denn wenn ich das richtig sehe, liegen bei "normalen Dreiecken" der Inkreis-Mittelpunkt und der Fermat-Torricelli-Punkt ziemlich dicht beieinander.

(Ich vermute mal, es war das erste, evtl. in Kombi mit dem dritten.)

Ich muss allerdings zugeben, trotz 1. Staatsexamen in Mathe und einem Faible für Geometrie hatte ich bisher vom Fermat-Torricelli-Punkt noch nichts gehört - aber wikipedia hilft ;-)

Kommentar von claushilbig ,

PS: ich muss mich korrigieren - Inkreis-Mittelpunkt und Fermat-Torricelli-Punkt liegen meist nicht dicht beieinander.

Also war's wohl wirklich die erste Möglichkeit - oder eine vierte: die Lösung war falsch ;-)

Antwort
von Wechselfreund, 13

Das läuft darauf hinaus, dass du den Umkreismittelpunkt des Dreieicks ABC bestimmst.

Kommentar von ralphdieter ,

Sicher? Der wäre doch bei "fast kollinearen" Punkten ziemlich weit ab vom Schuss...

Inkreis-Mittelpunkt klingt etwas plausibler, aber sicher bin ich mir da auch nicht. Ich würde ganz stumpfsinnig |AZ|+|BZ|+|CZ| minimieren.

Kommentar von Wechselfreund ,

Stimmt, hab nicht zuende gedacht! (Hatte im Kopf: Punkt der von allen gleich weit entfernt ist! Optimerung wäre auch möglich, kommt auf die Jahrgangsstufe de Fragestellers an.

Antwort
von shadowhunter109, 30

Verbinde sie mit einem Dreieck

Antwort
von BVBDortmund1909, 18

A                       B

           C

Lösung:Mit einem Dreieck.Du verbindest Punkt A,B und C also nach der Form eines Dreiecks.

Kommentar von Traeumelinchen1 ,

Ist aber nicht die kürzeste Möglichkeit. Sollte eher wie ein "Y" aussehen. Bei gleicher Entfernung ist das einfach, aber wie sieht es aus, wenn die Punkte unterschiedlich weit entfernt sind?

Kommentar von BVBDortmund1909 ,

Das wären ja schon 4 Punkte beim Y.

Du kannst die Seiten beim Dreieck ja variieren.Ob Seite c nun 2cm und b 20cm lang ist,ist letztendlich egal.3 Seiten ermöglichen immer noch die geringste Anzahl an Schienenbedarf.

Kommentar von claushilbig ,

3 Seiten ermöglichen immer noch die geringste Anzahl an Schienenbedarf.

Mit Sicherheit nicht!

Nimm mal ein gleichseitiges Dreieck mit der allgemeinen Seitenlänge a - wenn Du die Schienen entlang der Seiten legst, brauchst Du insgesamt 3*a an Schienen.

Wenn Du aber als zusätzlichen Knoten (den die Aufgabestellung nicht verbietet) den Schwerpunkt des Dreiecks nimmst und dann (quasi Y-förmig) von jeder Ecke ein Gleis bis zum Schwerpunkt legst (dort kann man dann in beliebige Richtung "umlenken"), brauchst Du nur 3*2/3*a = 2*a Schienen, also 1/3 weniger.

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