Frage von HamiltonJR, 13

Ich habe immer noch nicht den Vorteil der Eigenvektoren bzw. der Eigenwerte verstanden, kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?

Eine wohl sehr tolle Entdeckung aus Deutschland, wie ich gehört habe^^ Es soll eine Abbildung auf einen Vektor der gleichen Richtung ausmachen.. aber wozu ist das gut? Gibt es ein gutes und anschauliches praktisches Anwendungsbeispiel dafür?

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 1

Leider sind die meisten (mir bekannten) wichtigen Anwendungen so was von unanschaulich, dass man die lineare Algebra schon verstanden haben muss, um damit was anfangen zu können.

Immerhin:

- Bei einer Drehung im Raum bleiben Vektoren parallel zur Drehachse erhalten, sind also Eigenvektoren zum Eigenwert 1

- Bei einer Spiegelung sind die Vektoren senkrecht zur Spiegelachse / Spiegelebene Eigenvektoren zum Eigenwert -1.

- Bei einer Affinspiegelung sind die Vektoren senkrecht zur Spiegelachse / Spiegelebene Eigenvektoren zu anderen (negativen) Eigenwerten.

- Bei einer zentrischen Streckung sind alle Vektoren Eigenvektoren zum Streckungsfaktor.

- Anisotrope Materialien (Materialien, die sich in verschiedene Richtungen verschieden verhalten) verzerren sich nicht unbedingt nur in der Richtung, in der man an ihnen zieht, sondern auch z. T. seitlich. (Ein Maschendrahtzaun oder ein Stück Stoff drehen sich, wenn man sie nicht genau entlang der Fasern oder genau diagonal dazu dehnen will.)

Aber man findet in der Ebene (mindestens) zwei und im Raum (mindestens) drei Richtungen, bei denen die Dehnung genau in Richtung der Kraft wirkt.

Wenn man die Dehnungsfaktoren entlang dieser Richtungen kennt, kann man daraus die Dehnung bei einer Kraft in eine beliebige Richtung berechnen. (Siehe https://de.wikipedia.org/wiki/Spannungstensor#Eigensystem)

- Wenn man eine Matrix gegeben hat und beliebige Potenzen dieser Matrix berechnen will, geht das meistens am einfachsten, wenn man die Matrix "diagonalisiert". Hierbei nimmt man einen Satz von Eigenvektoren als neue Basis; in dieser Basis ausgedrückt besteht die Matrix aus den Eigenwerten in der Diagonalen und sonst nur aus Nullen.

Eine beliebige Matrixpotenz M^n einer Matrix M berechnet man dann so:

T sei die Transformationsmatrix, die die Matrix M "diagonalisiert", d. h.

M = T * D * T^(-1)

wobei D eine Diagonalmatrix ist.

Dann ist

M^n = T * D^n * T^(-1)

Eine Diagonalmatrix D potenziert man einfach, indem man jedes Element auf der Diagonalen potenziert.

Auf diese Weise kann man auch "Wurzeln" einer Matrix definieren.

Antwort
von Monsieurdekay, 7

ein wichtiges Anwendungsbeispiel wäre u.a in der Regelungstechnik, in der man wissen will, ob und wann ein dynamisches System nach einer Anregung zur Ruhe kommt. Hierbei werden Übertragungsfunktionen berechnet und der Nenner wird genau von dem charakteristischen Polynom gebildet, dessen Eigenwerte in dem Fall also die Polstellen sind.. und anhand der Struktur dieser Eigenwerte kann man prüfen, ob ein System "stabil" ist, oder ob es nach einer Anegung ins unendliche divergiert..

Antwort
von UlrichNagel, 9

Ich habe es auch nicht ganz verstanden wofür!? Es sind affine (ähnliche) Vektorabbildungen in einer ganz speziellen Betrachtung "Eigenraum", also eine ganz spezielle Ausnahme! Ist genau so unwirklich wie allgemein Die Raumtheorie mit R^n

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