Frage von DepravedGirl, 109

Ich habe gehört, dass ∞ * 0 angeblich nicht definiert ist, aber wie sieht es mit ∞ * x bzw. der Funktion f(x) = ∞ * x aus, ist die ebenfalls nicht definiert?

Eine Funktion wie f(x) = sin(∞ * x) wäre dann ja auch nicht definiert oder ? und was wäre mit f(x) = sin(∞ * x) / sin(∞ * x), ist das ebenfalls nicht definiert oder wäre f(x) = 1 ?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von PWolff, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 46

Man kann den Körper der komplexen Zahlen (und natürlich auch den Körper der Reellen Zahlen als seinen Unterkörper) um ein Element ∞ erweitern, und auch sinnvoll definieren:

∞ + z = z + ∞ = ∞ für z ∈ ℂ

∞ * z = z * ∞ = ∞ für z ∈ ℂ \ {0}

z/0 = ∞, z/∞ = 0 für z ∈ ℂ \ {0}

aber Ausdrücke wie 0*∞, ∞+∞, ∞/∞ lassen sich nicht sinnvoll definieren, und auch 0/0 ist immer noch nicht sinnvoll definierbar.

Siehe auch meromorphe Funktionen.

Da sin(z) eine wesentliche Singularität bei z=∞ hat, lässt sich sin(z) auf keine Weise meromorph nach z=∞ fortsetzen.

Dasselbe gilt auch bei Einschränkung auf ℝ.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine eindrucksvolle Antwort !

Kommentar von PWolff ,

Danke für die Blumen - äh, das Sternchen!

Kommentar von LC2015 ,

Der zweite Teil der Definition erscheint mir etwas merkwürdig, da dies impliziert, dass -∞ = ∞.

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 49

Unendlich mal x ergibt immer noch unendlich.

f(x)=∞*x=∞

Du hättest also eine Gerade mit einem unendlich hohen, konstanten Funktionswert ; du siehst, es macht also nicht viel Sinn, denn Unendlich ist kein definierter Wert.


Das selbe gilt dann für f(x)=sin(∞ * x) / sin(∞ * x)


f(x)=sin(∞ * x) / sin(∞ * x)=sin(∞)/sin(∞)=1.

Hier hast du sogar eine Gerade mit einem bestimmten Wert ; bringt dir aber nur auf dem Papier was, Unendlich kannst du nämlich schlecht in den Rechner tippen, deshalb kommt da eigentlich auch nicht 1 raus, sondern nur, wenn man für Unendlich einen Wert annimmt.


So würde ich es jedenfalls interpretieren ; beachte, dass ich nur Schüler bin, kann mich also durchaus irren, für mich macht es aber soweit Sinn.







Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Antwort
von DerTroll, 53

du machst einen Denkfehler. Es gibt die Zahl ∞ ja nicht. Du kannst mit ihr auch nicht rechnen. Du kannst sagen jede Zahl x, die du mit 0 multiplizierst auch wenn x gegen unendlich geht, ist 0. Unendlich, also ∞, gibt nur eine Richtung an, wohin die Zahlen gehen, es ist aber selber keine Zahl. Denn wenn es eine Zahl wäre, was wäre, wenn du dann noch etwas dazuaddieren möchtst?

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine Antwort !

Ich werde darüber nachdenken.

Kommentar von DerTroll ,

Besseres Beispiel ist eine Gleichung der Art 1/x wenn du wissen willst, was da rauskommt, wenn x gegen unendlich geht. Ein Bruch wird ja immer kleinder, je größer der Nenner wird. Also je mehr sich die Zahlen gegen unendlich nähern, desto mehr nimmt dieser Buch den Wert 0 an. Aber egal wie groß du die Zahl wählst, es ist nie 0. Das ist eine sog. Limesfunktion du kannst sagen Lim 1/x für x->∞=0. Aber 1/∞=0 wäre mathematisch nicht korrekt. Das würde ja umgekehrt auch heißen 1/0=∞. Aber 1/0 oder allgemein ein Wert durch 0 ist nicht definiert. Auch dakönntest du dich nur mit einer Limesfunktion nähern. Allerdings mußt du da dann auch unterscheiden, ob du dich von links oder rechts der 0 näherst. Merk dir einfach, daß ∞ keine Zahl ist.

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, Danke !

Antwort
von kdreis, 7

∞ * 0 ist aus gutem Grund nicht definiert: Wenn ∞ für lim (x->∞)x und

0 für  lim (x->  ∞) 1/x² steht, ist das Produkt lim (x->∞) x/x² = 0, aber

lim (x->∞) x²/x = ∞.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für deine Antwort !

Antwort
von Naajed, 10

Übrigens ist a:infinity definiert , übrigens welche die denken eine solche Division ist möglich liegt dabei falsch .

Es beschreibt nur , wenn sich b gegen 0 nährt , dass Ergebnis ins unendliche geht . Es gibt nämlich keine bestimmte rationale Zahl b , welche b*0 entspricht . Aber die anderen haben schon gute Antworten gegeben.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für deine Antwort !

Antwort
von Naajed, 44

Ich könnte Dir definieren das unendlich eins ist , aber auch gleichzeitig null ist ... nun ja .

Du könntest schon in einer Funktion mit unendlich rechnen, also definieren könnte man es schon, je nachdem wie man es sieht .

Kommentar von DepravedGirl ,

Ok, vielen Dank für deine Antwort !

Antwort
von Roderic, 26

Du interpretierst die Aussage

∞ * 0 ist nicht nicht definiert

falsch.

Sie bedeutet nicht: der Funktionswert von

∞ * 0

ist nicht definiert.

Sondern sie bedeutet: Das Verwenden des Wertes ∞ als Operand einer Multiplikation ist gar nicht erst zulässig.

Denn die Multiplikation ist ein Gruppenoperator über dem Körper der rellen Zahlen (bzw eines der bekannten Zahlenkörper überhaupt - für den die Multiplikation definiert ist.)

ist aber kein Element eines dieser Körpers und darum ist seine Verwendung als Operand in einer algebraischen Gleichung nicht zulässig.

PS: Die Antwort vom Troll hat es eigentlich schon auf den Punkt gebracht. Ich habs dir nur nochmal in eine etwas mehr axiomatische Form verpackt. Ich weiss, daß du damit was anfangen kannst ;-)

Kommentar von Roderic ,

Anders ausgedrückt: Das Zeichen darf nur dann in einer Gleichung stehen, wenn es:

a: alleine auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht. und

b: aus dem mathematischen Kontext zweifelsfrei hervorgeht, daß das, was auf der anderen Seite des Gleichheitszeichen steht entweder einen Grenzwert darstellt oder die Mächtigkeit einer Menge.

Kommentar von DepravedGirl ,

Recht herzlichen Dank für deine umfangreiche Antwort !

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