Frage von Ente73, 72

Ich habe eine Aufgabe: x^2=Wurzel von ( 2-x^2) + 2?

Hallo zusammen

Ich quadriere und bekomme:

x^4 - 4x^2 + 4= 2-x^2 dann bekomme ich x^4 - 5x^2 + 2 = 0

Das kann ich nicht weiter kürzen.. Wie macht Ihr das

Danke für die Antworten

lg E.

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 29

x ^ 2 = √(2 - x ^ 2) + 2 | - 2

x ^ 2 - 2 = √(2 - x ^ 2) | ... ^ 2

(x ^ 2 - 2) ^ 2 = 2 - x ^ 2

x ^ 4 - 4 * x ^ 2 + 4 = 2 - x ^ 2 | - 2 und + x ^ 2

x ^ 4 - 3 * x ^ 2 + 2 = 0

Substitution --> z = x ^ 2

z ^ 2 - 3 * z + 2 = 0

Kennst du die pq - Formel ?

pq - Formel anwenden -->

http://www.frustfrei-lernen.de/mathematik/pq-formel-quadratische-gleichungen-mat...

z _ 1 = 1

z _ 2 = 2

Rücksubstitution -->

Weil z = x ^ 2 ist, deshalb ist x = -/+ √(z)

Das musst du sowohl auf z _ 1 als auch auf z _ 2 anwenden.

x _ 1 = - √(1) = -1

x _ 2 = + √(1) = +1

x _ 3 = - √(2)

x _ 4 = + √(2)

Da bei Gleichungen dieser Art "Phantomlösungen" auftreten können, das sind Lösungen die die ursrüngliche Gleichung nicht erfüllen, muss man immer eine Probe machen -->

x ^ 2 = √(2 - x ^ 2) + 2

(-1) ^ 2 = √(2 - (-1) ^ 2) + 2 (Das ist falsch, deshalb ist x _ 1 keine Lösung)

(1) ^ 2 = √(2 - (1) ^ 2) + 2 (Das ist falsch, deshalb ist x _ 2 keine Lösung)

(-√(2)) ^ 2 = √(2 - (-√(2)) ^ 2) + 2 (Das ist korrekt, deshalb Lösung)

(+√(2)) ^ 2 = √(2 - (+√(2)) ^ 2) + 2 (Das ist korrekt, deshalb Lösung)

Nur x _ 3 = -√(2) und x _ 4 = +√(2) sind Lösungen.

Kommentar von fjf100 ,

mein Graphikrechner (Casio) ,gab bei x1= 1,34 und x2=- 1,34 auf.Er konnte die Aufgabe nicht lösen. 

Kommentar von DepravedGirl ,

Das ist schade ;-((

WolframAlpha packt es noch.

Sobald etwas zu fies wird, zum Beispiel 200 Zeichen glaube ich überschreitet, ist mit WolframAlpha auch nichts mehr zu machen.

Wahrscheinlich muss man dann zum teuren Mathematica greifen.

Kommentar von DepravedGirl ,

Vielen Dank für den Stern :-)) !

Antwort
von Chichiri, 37

Du hast glaub einen Denkfehler...

x² zum Quadrat... da musst du doch keine Binomische Formel anwenden..

das ergibt x^4=2-x^2

Danach das x^2 durch z ersetzen und dann mitternachtsformel einsetzen

Kommentar von Schachpapa ,

Wenn nicht hinter der Wurzel noch +2 gestanden hätte ...

Antwort
von Koapsii, 27

x^2 = wurzel von (2-x^2) + 2   | quadrieren

=> x^4 = 2-x^2 + 4 | auf eine seite bringen

=> x^4 - x^2 + 6 = 0 |Substituieren : x^4 = z^2 , x^2 = z

=> z^2 - z + 6 = 0 | Mitternachtformel

=> z1/z2 = irgendeinergebnis 

=> RESUB : z => x^2  => um x zu bekommen ziehst du die wurzel von z

Kommentar von Schachpapa ,

Vor dem Quadrieren noch 2 auf die andere Seite bringen, sonst geht das schief, denn:

das Quadrat von     wurzel(x)+y
ist                          x + 2y wurzel(x) + y²

d.h. du hast immer noch die Wurzel, die du eigentlich weghaben wolltest

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