Frage von abdelhakim, 50

ich habe eine Aufgabe Mathe gelöst?

Hallo Ihr, ich habe diese Aufgabe selbst gerechnet aber ich bin nicht sicher wenn das richtig ist und Frage c habe ich n icht verstanden

Antwort
von precursor, 12

Ich vermute, dass es keinen anderen Weg gibt als die gesamte Rechnung komplett neu zu machen wenn man weitere Gleichungen zu einem Gleichungssystem hinzu fügt.

Bei Aufgabe c.) ist dein Gleichungssystem verändert -->

I.) x _1 + t * x _ 3 = 1

II.) t * x _ 2 + 6 * x _ 3 = 5

III.) t * x _ 1 + x _ 2 + 7 * x _ 3 = 4.5

IV.) x _ 1 - x _ 3 = 4

Weil mir das rechnen mit den Indizes allerdings ganz gehörig auf den Sack geht benenne ich das um, aus x _ 1 mache ich a, aus x _ 2 mache ich b und aus x _ 3 mache ich c

I.) a + t * c = 1

II.) t * b + 6 * c = 5

III.) t * a + b + 7 * c = 4.5

IV.) a - c = 4

Ich forme sowohl I.) als auch IV.) nach a um und setze die Gleichungen dann gleich -->

I.) a = 1 - t * c

IV.) a = 4 + c

1 - t * c = 4 + c

- 3 = (1 + t) * c

c = -3 / (1 + t)


Nun setze ich c in eine der Gleichungen für a ein -->

a = 1 - t * (-3 / (1 + t))

a = 1 + 3 * t / (1 + t)

II.) und III.) stelle ich nach b um -->

II.) b = (5 - 6 * c) / t

III.) b = 4.5 - 7 * c - t * a

Nun setzte ich da c und a ein -->

II.) b = (5 - 6 * (-3 / (1 + t))) / t

III.) b = 4.5 - 7 * (-3 / (1 + t)) - t * (1 + 3 * t / (1 + t))

Für b erhält man 2 verschiedene Aussagen, nur für diejenigen t für die beide Aussagen wert-identisch werden gibt es eine Lösung, also -->

(5 - 6 * (-3 / (1 + t))) / t = 4.5 - 7 * (-3 / (1 + t)) - t * (1 + 3 * t / (1 + t))

Das ist nichts anderes als die Suche nach Nullstellen -->

4.5 - 7 * (-3 / (1 + t)) - t * (1 + 3 * t / (1 + t)) - (5 - 6 * (-3 / (1 + t))) / t = 0

Weil mir dieser irre Ausdruck so richtig auf die Nerven geht und ich für solche Scherze keine Zeit habe, deshalb habe ich an dieser Stelle WolframAlpha zum vereinfachen bemüht -->

https://goo.gl/SuuOdO

WolframAlpha vereinfacht das zu -->

7.5 - 4 * t + 36 / (t + 1) - 23 / t = 0

Für alle Nullstellen dieser Gleichung hat das Gleichungssystem überhaupt nur eine Lösung.

Eine Lösung kann man direkt mittels einer einfachen Wertetabelle ermitteln, und die liegt bei t = 2

Die 1-te Ableitung von der linken Seite lautet -->

23 / t² - 36 / (t + 1)² - 4

Newton - Verfahren --> https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Das Newton-Verfahren fördert dann auch noch folgende Nullstellen zu Tage -->

t = -2.348950740994556

t = 1.223950740994557

Wie schon gesagt, nur für diese Werte für t hat das Gleichungssystem ein Lösung.

Nun ist es an der Zeit, dass ich meine Umbenennung wieder rückgängig mache -->

a = 1 + 3 * t / (1 + t)

b = (5 - 6 * (-3 / (1 + t))) / t

c = -3 / (1 + t)

daraus wird also wieder -->

x _ 1 = 1 + 3 * t / (1 + t)

x _ 2 = (5 - 6 * (-3 / (1 + t))) / t

x _ 3 = -3 / (1 + t)

Und nun können wir das auf für die legitimen Werte für t ausrechnen -->

t = 2

x _ 1 = 3

x _ 2 = 11 / 2

x _ 3 = -1

oder

t = -2.348950740994556

x _ 1 = 6.223950740994557330

x _ 2 = 3.552098518010889870

x _ 3 = 2.2239507409945573304

oder

t = 1.223950740994557

x _ 1 = 2.6510492590054437996

x _ 2 = 10.697901481989107175

x _ 3 = -1.34895074099455620042

Antwort
von precursor, 10

I.) x _1 + t * x _ 3 = 1

II.) t * x _ 2 + 6 * x _ 3 = 5

III.) t * x _ 1 + x _ 2 + 7 * x _ 3 = 4.5

----------------------------------------------------------------------------------------------------------

I.) x _ 1 = 1 - t * x _ 3

x _ 1 in III.) einsetzen -->

II.) t * x _ 2 + 6 * x _ 3 = 5

III.) t * (1 - t * x _ 3) + x _ 2 + 7 * x _ 3 = 4.5

III.) t - t² * x _ 3 + x _ 2 + 7 * x _ 3 = 4.5

III.) x _ 2 + (7 - t²) * x _ 3 = 4.5 - t

II.) x _ 2 = (5 - 6 * x _ 3) / t

x _ 2 in III.) einsetzen -->

III.) ((5 - 6 * x _ 3) / t) + (7 - t²) * x _ 3 = 4.5 - t

III.) (5 - 6 * x _ 3) + (7 * t - t³) * x _ 3 = 4.5 * t - t²

III.) (7 * t - 6 - t³) * x _ 3 = 4.5 * t - 5 - t²

III.) x _ 3 = (4.5 * t - 5 - t²) / (7 * t - 6 - t³)

x _ 3 in II.) einsetzen -->

II.) x _ 2 = (5 - 6 * ((4.5 * t - 5 - t²) / (7 * t - 6 - t³))) / t

II.) x _ 2 = (5 * t ² - 6 * t - 8) / (t ³ - 7 * t + 6)

x _ 3 in I.) einsetzen -->

x _ 1 = 1 - t * ((4.5 * t - 5 - t²) / (7 * t - 6 - t³))

x _ 1 = 1 + (5 * t - 4.5 * t² + t³) / (7 * t - 6 - t³)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------

Die Frage a.) kannst du nun beantworten, der Nenner darf nicht Null sein, das bedeutet 7 * t - 6 - t³ und t³ - 7 * t + 6 dürfen nicht Null werden, weil die Division durch Null nicht definiert ist.

Die Frage b.) kannst du beantworten in dem du einfach für t = 2 einsetzt.


Da will man dich hereinlegen ;-)) !!

7 * 2 - 6 - 2³ = 0

2³ - 7 * 2 + 6 = 0

Für t = 2 ist nämlich der Nenner Null, genau wie ich es unter a.) schon gesagt habe ;-))

Um c.) zu beantworten fehlt mir im Moment die Zeit, ich werde später noch mal antworten falls (!!) ich dann eine Lösung anbieten kann.

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