Frage von KannKeinMathe69, 12

Ich habe ein Problem mit Teilfolgen und Häufungswerten?

Alles klar ich hänge an zwei Fragen auf meinem Matheblatt fest und brauche Hilfe:

1) (a_n) ist eine reelle Folge und (b_n) ist eine Folge in der Menge der Häufungswerte H(a_n). (b_n) konvergiert gegen b_0. Beweisen Sie, dass b_0 ein Element von H(a_n) ist.

2) Zeigen Sie, dass eine Folge (a_n) genau dann gegen a konvergiert wenn jede Teilfolge (a_n_k) wiederum eine gegen a konvergente Teilfolge (a_n_k_j) hat.

Die Aussagen sehen mir logisch aus, aber ich weiß nicht wie ich das angehen sollte deshalb wäre es nett wenn mir jemand helfen könnte. Danke im Voraus.

Antwort
von gilgamesch4711, 5

  2) Trau ich mir zu. Ganz kurz; ich bin Anhänger der ===> NonstandardAnalysis ( NSA; IST ) von ===> Edward Nelson; als Lehrbuchhinweis: Alain Robert bei Wiley.

   Ist irre schwer; ich weiß. Selbst die Profs begehen in der NSA Sprache Grammatikfehler wie Kleinkinder, die ihre Muttersprache erlernen.  Nelsons Originalpaper ist wohl das einzige, das für den Leser die häufigsten Denkfehler zusammen fasst ... ( Ich hoffe wir werden Freunde; NSA macht nämlich wirklich Freude und nimmt dir viel Frust. )

   Ich führe jetzt zwei Konventionen ein; ab jetzt mögen Großbuchstaben für Standardobjekte so wie griechische Buchstaben für inf(initesimale) Größen reserviert sein.

    Das ===> Robinsonlemma sagt aus

   Eine Folge A < n >  strebt gegen den Grenzwert G  genau dann, wenn für alle Nonstandard n

      A  (  n  )  -  G  =  inf  =  €      (  1a  )

     "  ====>  "

    Die Folge A < n > konvergiert gegern G ; wir betrachten zunächst eine STANDARD Teilfolge

        A  <  M  (  n  )  >       (  1b  )     

   ein wichtiges Lemma der NSA :

   "  Y0  =  F  (  X0  )  ist Standard "

      Für Nonstandard n0 kann aber m0 = M ( n0 ) nicht Standard sein. Denn wäre m0 = M0, so bilde

    n0  =  M  ^ -  1  (  M0  )  ;  Widerspruch     (  2  )

    Das finde ich immer wieder das Schöne an der NSA; diesen Zwang zur echten Selbstbesinnung. Welcher normale Matematiker begreift schon, dass m ( n ) eine umkehrbare Funktion ist?

   Wir haben also eingesehen: Wenn n = Nonstandard, so auch M ( n ) ; und dann folgt mit Pappa robinson tatsächlich Konvergenz der Teilfolge ( 1b )

   Was jetzt noch fehlt - wir wollen ( 1b ) ja beweisen für " Klein m " so wie " Klein a " , also Allgemein, ist der ===> Transfer über diese beiden Variablen M bzw. A .

   Da wo normale Beweise enden mit " wzbw " , da steht bei der NSA immer " RdT " ( " Rest durch Transfer " )

   Ich hab heut noch nicht mal gefrühstückt; ich muss abschicken, weil sonst dieser Textpuffer zusammen bricht.

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