Frage von MiMoMa123, 76

Kann mir jemand helfen, binomische Formeln zu verstehen?

Ich verstehe das Thema binomische Formeln generell nicht so, also es wird langsam, aber kann mir jemand sagen, wie ich die folgende Aufgabe lösen könnte (ist nur ein Beispiel ).           (X -13)^2=(x-7)^2.     (^2=hoch 2)

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von FanniFoglake, 4

https://www.youtube.com/shared?ci=Cx2khz9yd4I

Guck es dir ca.2-3 mal an und du vergisst sie nie wieder XD

Antwort
von poseidon42, 24

(a - b)^2 = (a - b)*(a - b) = a*(a - b) - b*(a - b) = a² - ab - ab + b² = a² -2ab + b²

Hier sei nun mit :

(x -13)^2=(x-7)^2       a = x    und    13 = b   bzw.  7 = b

Also:

(x -13)^2 = x² - 26x + 169   und   (x-7)^2 = x² - 14x + 49

Aus obiger Bedingung folgt schließlich:

x² - 26x + 169 =  x² - 14x + 49

Diese Gleichung gilt es nun nach dem gesuchten x umzuformen:


x² - 26x + 169 =  x² - 14x + 49   II -x²

-26x + 169 = -14x + 49     II +26x

169 = 12x + 49    II -49

120 = 12x       II *(1/12)

10 = x

Einsetzen in die obige Gleichung liefert:

(10 - 13)^2 = (-3)^2 = 9   und   (10 - 7)^2 = (3)^2 = 9

Damit ist unser gesuchtes x also in diesem Fall   x = 10.


Allgemein lauten die Binomischen Formeln wie folgt:

1.)  (a + b)^2 = a² + 2ab + b²

2.)  (a - b)^2 = a² -2ab + b²

3.)  (a + b)*(a - b) = a² - b²

Du benutzt diese indem du einen Koeffizientenvergleich durchführst, Beispiele wären:

9x² + 18x + 9 = (3x)^2 + 2*(3*3*x) + 3^2

Durch einen Vergleich mit:  a² + 2ab + b²    wird schnell ersichtlich, dass für Gleichheit gelten müsste:  a = 3x  und  b = 3. Wir kennen jedoch einen äquivalenten Ausdruck zu       a² + 2ab + b²      und zwar (a + b)². Wie wir schon durch den Vergleich herausgefunden haben gilt a = 3x und b = 3 für Gleichheit, durch Einsetzen erhalten wir dann:

9x² + 18x + 9 = (3x)^2 + 2*(3*3*x) + 3^2 = (3x - 3)²

Man kann die binomischen Formeln für alles mögliche verwenden um Terme elegant zusammenzufassen. Als letztes noch einmal ein Beispiel anhand der pq-Formel, einer etwas "kreativeren" Anwendung der binomischen Formeln:

Sei also:      5 = 2x² + 4x + 1    

gesucht ist DAS oder DIE x für die diese Gleichung erfüllt ist. Die binomischen Formeln helfen hier einem auf einem kreativen Weg weiter:

 5 = 2x² + 4x + 1    II -5

0 = 2x² + 4x - 4    II *(1/2)

0 = x² + 2x - 2   

Wir erkennen an dieser Stelle schon erste Ähnlichkeiten mit einer der Binomischen Formeln:

a² + 2ab + b²    sei hier nun a = x  und  b = 1 so erhalten wir:

x² + 2x + 1  , jedoch stimmt dies nicht mit unserer Gleichung überein, subtrahieren wir beide Ausdrücke voneinander so erhalten wir:

(x² + 2x - 2) - (x² + 2x + 1) = -3

Wir erhalten also die Gleichung der binomischen Formel, wenn wir +3 zu unserer Ausgangsgleichung hinzuadieren würden. Wir können nun durch simples Umformen zeigen:

(x² + 2x - 2) - (x² + 2x + 1) = -3    II +(x² + 2x + 1)

(x² + 2x - 2) = -3 + (x² + 2x + 1)  

Diese beiden Ausdrücke sind äquivalent, also gleichwertig. Wir dürfen also den einen durch unseren neugewonnen Ausdruck, welcher die binomische Formel enthält tauschen. Tun wir dies, so erhalten wir:

0 =  -3 + (x² + 2x + 1)   II +3

3 = (x² + 2x + 1)  

Wir wissen von den binomischen Formeln, dass sich  (x² + 2x + 1)   als 

(x + 1)²  schreiben lässt. Wir dürfen nun also erneut den Ausdruck durch eben diesen ersetzen. Wir erhalten:

3 =   (x + 1)²      II (...)^(1/2)     "Quadratwurzel"

(3)^(1/2)  =  x + 1        oder   -(3)^(1/2) = x + 1

[ da ja gilt :    (-x)^2 = (-1)^2  * x^2 = x^2   ]

Damit erhalten wir also:

x = (3)^(1/2) - 1         oder    x = - [ (3)^(1/2) + 1]

Somit haben wir also 2 Lösungen für diese Gleichung erhalten. Dieser Vorgang wir als "quadratische Ergänzung" bezeichnet, obwohl er hier nur mal exemplarisch von der Idee her vorgeführt wurde. Man kann mithilfe dieses Ansatzes für Gleichungen der Form:

0 = ax² + bx + c   II *1/a

0 = x² + bx/a  + c/a    mit  p = b/a   und   q = c/a

0 = x²+ px + q

Eine Allgemeine Lösungsformel herleiten, die häufig als pq-Formel bezeichnet wird und folgende Gestalt hat:

x(1|2) = - (p/2) +/-  [ (p/2)²  -  q ]^(1/2)    

mit x(1)  und   x(2)   als Lösungen, wobei gelten muss  (p/2)²  -  q >= 0

[   "  >= " sei hier "größer gleich ", der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv oder gleich 0 sein ]

Dabei geschiet dies auf analoge Art und Weise wie oben angedeutet.

Dies sollte mal eine kleine Einführung sein mit ein paar Beispielen und einem sehr wichtigen Anwendungsbeispiel.

Kommentar von 100th ,

wtf

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 16

Hallo,

das geht auch ohne Formel.

Durch das Quadrat hinter den Klammertermen heben sich die Vorzeichen auf.

(x-13)² ist also genauso groß wie (x-7)², wenn die beiden Ergebnisse gleich weit von der Null entfernt sind, einmal auf der negativen, einmal auf der positiven Seite der Zahlengeraden.

Die beiden Zahlen, die in den Klammern von x abgezogen werden, unterscheiden sich um 6 (13-7=6). x muß also so gewählt werden, daß die Ergebnisse in beiden Klammern um 6 auseinanderliegen (das tun sie für jedes x) und daß die Null genau in der Mitte zwischen x-13 und x-7 ist (das ist nur bei -3 und 3 der Fall).

Bei x-13 muß also -3 herauskommen, während x-7 3 ergeben muß. DIes ist bei x=10 der Fall.

Durch das Quadrieren ergeben beide Klammern das gleiche Ergebnis: (-3)²=9 und 3²=9.

Herzliche Grüße,

Willy

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Mathe & Schule, 11

An sich ist es ganz kurz. Man soll doch wohl x herausbekommen.
Der Einsatz der 2. Binomischen Regel ist dabei nur ein kleines Hilfsmittel, das in Zukunft tausende Mal vorkommen wird.

(x - a)²  =  x² - 2ax +  a²
(x - 5)²  =  x² - 10x + 25       So geht's:
1. Schritt: a² bestimmen: 25                  Schreiben: x² -            +25  
                                       Wenn in der Klammer Minus, dann auch hinter x²
2. Schritt: 2 mal zweiter Term mal x: 2 * 5x = 10 x oben einfüllen:
                                                            Ergibt:        x²  - 10x  + 25

[ Sobald man das besser kann, macht man es in einem Schritt! ]

Los geht's:
(x - 13)²              = (x - 7)²            | 2. Binom. Regel anwenden
x² - 26x +169     = x² - 14x + 49   | -x²
    -26x + 169     =   -14x + 49      | +14x
    -12x + 169     =        49            | -169
           -12x        =    -120             | /(-12)
                x        =   10 

Antwort
von knowli, 33

(X -13)^2=(x-7)^2.

mit der binomischen Formel kannst du das so machen

x^2-26x+169=x^2-14x+49

-12x=120

x=10

Bin mir gerade nicht ganz klar, darüber ob es noch weitere Lösungen gibt, aber für heute sollte das reichen.

Kommentar von MiMoMa123 ,

Ok danke

Antwort
von FelixFoxx, 12

(x-13)²=(x-7)²

<=> x²-26x+169=x²-14x+49

<=> -12x=-120

<=> x=10

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten