Frage von SaoirseWanderer, 27

Ich brauche Hilfe bei einer Aufgabe zu Topologien / kompakten Mengen?

Hallo liebe Community!

Kann mir jemand folgende Aufgabe erklären / Ansätze liefern? Ich verstehe von Topologien leider fast gar nichts.

(a) Sei (X,U) ein topologischer Raum und ∅≠A⊆X. Beweisen Sie: Eine Menge K⊆A ist genau dann kompakt bezüglich der Teilraumtopologie U_A, wenn K bezüglich U kompakt ist.

(b) Sei X ein Hausdorff-Raum und {x_n}_(n∈N) eine gegen x konvergente Folge. Zeigen Sie, dass die Menge K≔{x_n│n∈N}∪{x} kompakt ist.

Danke schon mal im Voraus!

Antwort
von eddiefox, 9

Hallo!

Hinweis zu (a):

Die offenen Mengen in U_A sind genau die Mengen (O∩A) mit O∈U.

K ist kompakt in (X,U) wenn es zu jeder offenen Überdenkung von K, d.h. 

K ⊂ ∪O mit O∈U eine endl. Teilüberdekung gibt: K ⊂ ∪O_i, (i=1,...n).

Jede offene Überdeckung von K in (A,U_A) ist aber von der Form 

K ⊂ ∪(O∩A), O∈U. Dann ist ∪(O_i∩A) (i=1,...n) eine endl. Teilüberdeckung von K im Raum A, wenn ∪O_i, (i=1,...n) die zu ∪O endl. Teilüberdeckung in X ist.

Zu (b)

Ich würde versuchen zu zeigen, wenn K nicht kompakt, dann folgt x_n nicht konvergent.

Hinweis: X Hausdorff <=> für alle x, y ∈ X mit x ≠ y existieren offene Umgebungen U(x), U(y) die x und y trennen, also U(x)∩U(y)=∅.

Anwenden auf die Folge {x_n} :

Für alle x_n gibt es offene Umgebungen U_n von x_n und V_n von x mit 

U_n ∩ V_n = ∅.

Mit diesen offenen Umgebungen eine offene Überdeckung von K hinschreiben.

K nicht kompakt => es gibt offene Mengen die unendlich viele Folgenglieder x_n von x trennen, d.h. x_n konvergiert nicht. Widerspruch, also K kompakt.

So in der Richtung...

Keine passende Antwort gefunden?

Fragen Sie die Community

Weitere Fragen mit Antworten