Frage von gh0sttt, 70

Ich brauche bisschen Hilfe bei einer Stochastik Aufgabe?

Die aufgabe lautet: A und B tragen einen Schwachwettkampf. A gewinnt mit Wahrscheinlichkeit 2/3, B mit 1/3. A gewinnt, wenn er zuerst 10 Spiele gewinnt und B, wenn 5 Spiele gewinnt. Die einzelne Spielausgaenge werden unabhaengig voneinander angenommen.

a) Berechen die Wahrscheinlichkeit, dass A den Wettkampf gewinnt und B einmal bzw zweimal gewinnt.

b) Beim Spielstand 6:3 muss der Wettkampf abgebrochen werden. Wie gross ist die Gewinnwahrscheinlichkeit der beiden Spieler fur diesen Wettkampf?

c) Welche Gewinnchancen hatten die beiden zu Beginn des Kampfes?

Vielen Dank im voraus !!!!

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe, 39

Es handelt sich ja auf jeden Fall um ein Bernoulli-Experiment, also kannst Du mit der Formel für eine Binomialverteilung rechnen.

Ich gebe mal einen Tipp zu a)

A soll den Wettkamp gewinnen, muss also 10 Einzelspiele gewonnen haben. Gleichzeitig soll B einmal bzw. zweimal ein Spiel gewonnen haben. Dementsprechend müssen insgesamt 11 bzw. 12 Spiele stattgefunden haben, von denen B 1 bzw. 2 gewonnen hat.
Das sollte eigentlich langen, um die Formel anwenden zu können.

Mit ähnlichen Ünerlegungen sollten sich auch b) und c) lösen lassen.

Antwort
von YStoll, 42

a1) Wahrscheinlichkeit für A gewinnt den Wettkampf und B genau einmal:

Für dieses Szenario Müssen offensichtlich genau 11 Spiele gespielt werden.
10 davon muss A gewinnen, 1 B. Es gibt 11nCr1 (11 über 1) Möglichkeiten, dass das passiert. Also beträgt die Wahrscheinlichkeit
(2/3)^10 * (1/3)^1 * (11nCr1) = 11264 / 177147 = 0.0635856(gerundet).

a2) geht analog, versuch es dochmal selbst.

b) A gewinnt genau dann, wenn er mindestens 4 aus den nächsten 5 Spielen gewinnt.
Wenn A nicht gewinnt, gewinnt B.

c) A gewinnt genau dann, wenn er mindestens 10 aus den nächsten 14 Spielen gewinnt.
Wenn A nicht gewinnt, gewinnt B

Bei b) und c) ist es nicht relevant, dass das Spiel eventuell gar nicht die volle Länge an Runden (5 bzw. 14) dauert. 

Kommentar von gh0sttt ,

Danke sehr! ich verstehe nur nicht warum sind bei c) 14 Spiele =/

Kommentar von YStoll ,

Weil das Spiel maximal 14 Runden andauern kann.
Nach 14 Runden muss einer gewonnen haben.

Kommentar von Schachpapa ,

B kann eines der Spiele 1-10 gewinnen, nicht 11. Denn wenn A schon 10 mal gewonnen hat ist Ende.

Daher gibt es bei a) nur 10 * (2/3)^10 * (1/3)^1

Kommentar von YStoll ,

Das stimmt, danke.

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