Frage von Belus911, 28

ich brauch bei folgender Matrix/Matrize eure Hilfe?

es gibt die Aufgabe a und b (siehe Anhang)

die A) müsste ich richtig gerechnet haben, oder? keine Triviale Lösung besitzt die Matrix a, da ihre Determinate ungleich 0 ist oder?

Aber zur Aufgabe b, wie gehe dort ran? Ich dachte ich machs richtig, aber das Ergebnis stimmt nicht -.-

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik,

Hallo,

da die Determinante von Matrix C gleich Null ist, hat die Gleichung 
Cx=0 nicht nur die triviale Lösung x=y=z=0, sondern (unendlich viele) andere Lösungen.

Du stellst dazu das Gleichungssystem auf:

x+3y-z=0
2x+2y+z=0
x+7y-4z=0

Wenn Du nun von Gleichung II das Doppelte von Gleichung I und von Gleichung III Gleichung I subtrahierst, steht da:

x+3y-z=0 (I lassen wir unverändert).
 -4y+3z=0 (Das war II-2*I)
  4y-3z=0 (Das ist III-I)

Wenn Du Gleichung II nun mit (-1) multiplizierst, hast Du zwei identische Gleichungen:

x+3y-z=0
4y-3z=0
4y-3z=0

Du kannst beide in 4y=3z umformen, dann ist y=(3/4)z

Wenn Du für y nun (3/4)z in die obere Gleichung I einsetzt, bekommst Du

x+(9/4)z-z=0

Zusammenfassen:

x+(5/4)z=0

x ist also gleich (-5/4)z

Wenn Du für z nun einfach eine 1 einsetzt, bekommst Du als eine mögliche nichttriviale Lösung (-5/4|3/4|1) heraus.

Wenn Du für z irgendeine andere Zahl ungleich Null einsetzt, bekommst Du unendlich viele weitere nichttriviale Lösungen.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von Willy1729 ,

Verstehst Du? In einem Gleichungssystem mit nur einer einzigen Lösung bekommst Du nach einigen Umformungen die typische Treppe, z.B.:

x+2y+z=4
    3y-2z=1
         3z=3

Du löst dann nach der Unbekannten in der unteren Zeile auf, setzt diese in die Zeile mit zwei Unbekannten ein, berechnest so die zweite, und setzt am Schluß beide in die erste Zeile ein, um auch die dritte Unbekannte zu bestimmen.

Hier gibt es nur die eine Lösung: x=y=z=1.

Bei Deiner Aufgabe aber kannst Du eine solche Treppe nicht bilden.

In den beiden unteren Zeilen würden gleich beide restlichen Unbekannten verschwinden, wenn Du sie addierst.

So kannst Du den Wert für eine der Unbekannten frei wählen und bekommst so unendlich viele Lösungen heraus.

Willy

Kommentar von Belus911 ,

Danke ich schaus mir Gleich an!

Kommentar von HanSolo9444 ,

Danke ich glaub ich habs verstanden! Nur eine Frage wie bist auf die 1 gekommen für z ?

Kommentar von Willy1729 ,

Wenn's Dir Spaß macht, kannst Du für z auch -0,348974421 einsetzen oder 2133 - aber das ist ein bißchen umständlich zu rechnen.

Ich hatte doch geschrieben, daß Du für z jede Zahl außer Null nehmen kannst, um auf eine der unendlich vielen nichttrivialen Lösungen zu kommen. Mit der 1 für z ist es natürlich am einfachsten. Allerdings geht auch die 4 gut, weil Du dann für x und y glatte Zahlen erhältst:

x=-5 und y=3, denn 4*(-5/4)=-5 und 4*(3/4)=3

(-5/3/4) geht somit auch als Lösung.

Willy

Antwort
von karajan9, 8

Die triviale Lösung (das heißt x = 0) existiert immer. Interessant ist also die nicht-triviale Lösung mit x =/= 0. Aber dann passt deine Aussage, ja.

Bei b), so weit so gut. Denk daran, dass du die Gleichung C * x = 0 lösen möchtest, nicht wissen, ob das Gleichungssystem eindeutig lösbar ist (was es nicht ist, wie du richtig bemerkt hast. Deswegen sollst du auch alle Lösungen bestimmen).

Kommentar von Belus911 ,

Danke für die Hilfe.

a) war korrekt, richtig - fehlt nix mehr?

Allerdings wie verfahre ich bei der Aufgabe b dann?

Wie muss ich weiter machen, dass ich auf alle Lösungen komme? Ich muss gestehen, dass ist eine Zusatzaufgabe, und ich versteh einfach nicht wie drauf komme..

Kommentar von karajan9 ,

Du hast richtig gerechnet, nur die Formulierung "keine triviale Lösung besitzt die Matrix A, da ihre Determinate ungleich 0 ist", ist eben falsch.

Stell dir vor der Vektor x hat die Elemente x1, x2, x3. Die Matrix, die du vereinfacht hast, kannst du mit dem Vektor multiplizieren. Unter der Bedingung, dass da jeweils 0 rauskommen muss, kannst du Gleichungen für x1, x2 und x3 aufstellen.

So bekommst du am Ende ein Vektor x, wo die Elemente voneinander abhängen (da darfst du dir ein Element aussuchen, von dem die anderen abhängen sollen). Sowas wie (x1, 5*x1, -3) oder so (nur ein Beispiel).

Kommentar von HanSolo9444 ,

Danke für die Erklärung, die a müsste ich jetzt haben, allerdings verstehe ich die b immer noch nicht :/

Kommentar von karajan9 ,

Hast du den falschen Account erwischt? ;-)

Es würde helfen, wenn du erklärst, woran es genau beim Verstehen hakt. :-)

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