Frage von Oktane737, 69

ich bräuchte noch einmal hilfe bei mathe?

Das ist jetzt aber auch vorerst die letzte frage :D wie überprüft man denn sowas?: Die auf dem Intervall [1, 2011) definierte Funktion f(x) = x^12πln(x) + x^42e^x3 hat ein globales Maximum

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von schuhmode, 4

Das soll heißen:

f(x) = x^12 * π * ln(x) + x^42 * e^(x^3)

Auf dem betrachteten Intervall sind x^12 und ln(x) streng monoton steigend, also ist auch x^12 * π * ln(x) streng monoton steigend. Ebenso sind dort x^42, x^3, e^x streng monoton steigen, also auch x^42 * e^(x^3).

Und damit ist schließlich dein f(x) als Summe zweier streng monoton steigender Funktionen ebenfalls streng monoton steigend.

Dein Intervall ist halb offen, und es ist das obere Ende, die 2011, das nicht zum Intervall bzw Definitionsbereich gehört. Damit hat deine Funktion kein globales Maximum, denn für jedes x0 aus [1, 2011) gibt es ja ein x, das näher an 2011 liegt als x0, für das also gilt x0 < x 2011. Da baber f streng monoton steigend ist, folgt daraus: f(x0) < f(x).

Also, zu jedem Funktionswert gibt es noch einen, der ersteren übertrifft. Das liegt daran, dass 2011 aus dem Definitionsbereich ausgeschlossen ist. Wäre der Definitionsbereich [1, 2011], oder auch (1, 2011], dann gäbe es ein globales Maximum bei x=2011.

Kommentar von schuhmode ,

Das soll heißen:

Im ersten Satz meiner Antwort fehlt natürlich ein "vermutlich"! Aber selbst, wenn ich es nicht ganz korrekt entziffert habe, wird die Funktion im betrachteten Intervall wohl streng monoton sein.

Kommentar von Oktane737 ,

viielen Dank für deine Antwort und deine Mühe!!

Antwort
von YStoll, 22

Willst du nur wissen, ob die Aussage stimmt, sprich ob es ein globales Maximum gibt, oder wo sich dieses befindet?

Außerdem wäre es gut, wenn du die Funktion nochmal ordentlich aufschreibst. Schreibe Potenzen immer in Klammern und lasse links und rechts von Multiplikationszeichen " * " Platz, sonst formatiert dir GF das in rekursivgeschriebenes.

Antwort
von kempi87, 39

Als erstes schauen ob die funktion stetig ist, wenn es ein abgeschlossener intervall ist misst du nix mehr rechnen sondern sagst einfacg die regel auf. Sonst erste ableitung null setzen und alle nullstellen berechnen. Dann zweite ableitung und bestimmen obs lokales maxima/ minima ist. Dann bewerten.

Antwort
von UlrichNagel, 46

Erste Ableitung beide Glieder mit Produktregel und dann 0 setzen. 2. Ableitung zur Überprüfung für Maximum!

Kommentar von Wechselfreund ,

Vorsicht, eingeschränkter Definitionsbereich! Randextrema?

Kommentar von UlrichNagel ,

Man bekommt ja alle und braucht nur die zwischen 1 und 2011 heraussuchen.

Kommentar von ac1000 ,

Man bekommt ja alle und braucht nur die zwischen 1 und 2011 heraussuchen.

Du hast den Kommentar nicht verstanden und/oder weisst nicht, was ein Randextremum ist.

http://www.free-education-resources.com/www.mathematik.net//extrema/k01s12.htm - Zweites Bild angucken.

Kommentar von UlrichNagel ,

Die Begriffe globales und Randextremum sind mir schon klar!

Kommentar von schuhmode ,

Die Rechnerei kann man sich schenken.

Auch wenn er nicht ganz eindeutig lesbar ist, sieht man dem Term dennoch an, dass die Funktion für x>0 streng monoton steigend ist. Folglich hat sie rechts vom Ursprung keine lokalen Extrema (sollte die erste Ableitung dort irgendwo 0 werden, dann wäre da ein Sattelpunkt).

Damit wäre beim rechten Intervallende eigentlich das globale Maximum; aber gerade dieses Ende ist ja aus dem Def.bereich ausgeschlossen. Folglich (wieder: strenge Monotonie beachten!) hat die Funktion kein globales Maximum.

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