Frage von fliegerstudent9, 60

Höhere Mathematik: Wie beweise ich folgende Gleichung?

Ich habe mir schon einen Wolf gegooglet und unser Skript durchforstet, aber ich finde keine Lösung. Sicher ist die Antwort recht einfach und ich stehe einfach komplett auf dem Schlauch Die Aufgabenstellung lautet wie folgt:

Es sei H ein Vektorraum über K = R, C mit Skalarprodukt <,>. Zeigen Sie die Polarformel

a) 4* = ||x+y||^2 - ||x-y||^2 für x,y Element aus H und K=R.

Die <> sollen hierbei die eckigen Klammern beim Skalarprodukt darstellen.

Ich hoffe jemand von euch kann mir helfen!

Dankeschön schonmal im Voraus :)

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathe, 37

Es sieht so aus, als hätte die Forensoftware trotz Umstellung etwas zwischen spitzen Klammern als HTML zu interpretieren versucht.

Auf der linken Seite soll vermutlich 4 * <x, y> stehen.

Überleg dir, wie Norm und Skalarprodukt zusammenhängen.

Der Rest ist Ausmultiplizieren (wobei berücksichtigt wird, dass das Skalarprodukt über reellen Vektorräumen symmetrisch ist).

Kommentar von fliegerstudent9 ,

Also ich kenne nur den hauptzusammenhang: ||x||^2=< x, x > .. Aber wie hilft mir das weiter wenn ich x und y habe.. Desweiteren weiß ich, dass ich die Norm auch in zwei Normen teilen kann, wenn x und y senkrecht zueinander sind. Aber das weiß ich ja nicht.

Darf ich das Skalarprodukt einfach ausmultiplizieeen? Und ich habe mal gelesen, dass man die Norm einfach wie Betragsstriche behandelt kann, ist das wahr?

Kommentar von PWolff ,

||x||^2=< x, x >

gilt ja für alle x. Statt x kannst du jeden anderen Vektor nehmen, insbesondere x+y:

||x+y||^2=< x+y, x+y >

Ein Skalarprodukt über einem reellen Vektorraum ist eine Bilinearform, d. h. u. a., dass das Distributivgesetz für beide Faktoren gilt. (Für komplexwertige Vektorräume ist das Skalarprodukt eine "Sesquilinearform" - "Anderthalblinearform" -, hier gilt die Distributivität bei Addition auch, aber bei Vorfaktoren ist es komplizierter)

Ja, die Norm eines Vektors ist eine Erweiterung des absoluten Betrags und lässt sich auch so behandeln.

Kommentar von fliegerstudent9 ,

Super danke!! Das war das was mir gefehlt hat! 

Kommentar von PWolff ,

Gerne!

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