Frage von dkilli, 84

Höhe eines Brettes an der Wand?

Ein Brett von 10 m Länge liegt auf einer Kiste mit den Maßen von 1 m. Wie hoch ist das Brett vom Boden entfernt.

Das Bild erklärt es besser

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von Willy1729, Community-Experte für Mathematik, 38

Hallo,

Du kannst mit Hilfe des Strahlensatzes und des Satzes des Pythagoras zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten aufstellen, aus denen Du eine Unbekannte eliminieren kannst.

Das Stück des Brettes, das schräg oberhalb der Kiste bis zur Wand reicht, nennst Du x, das Stück Wand vom Oberrand der Kiste bis zum Brett nennst Du y. Dann gilt:

y/x=(y+1)/10

Weiter gilt: y²+1=x².

Die erste Gleichung löst Du nach x auf:

x=(10y)/(y+1)

Dann ist x²=(100y²)/(y+1)²

Da x² auch gleich y²+1 ist, gilt:

(100y²)/(y+1)²=y²+1

Dies kannst Du ausmultiplizieren und auf eine Seite bringen. So ergibt sich eine Gleichung vierten Grades, die keinesfalls einfach zu lösen ist:

y⁴+2y³-98y²+2y+1=0

Dies geht nur (höchst kompliziert) mit Hilfe der Cardanischen Formeln oder mit Näherungsverfahren.

Ich habe meinen Taschenrechner bemüht.

Die Lösungen: 

y=8,93799368 oder 0,11188193 oder -0,0912523 oder -10,958623

Die negativen Lösungen scheiden aus. Von den anderen kommt hier die zweite in Frage, weil das Brett in relativ flachem Winkel zur Wand führt.

y=0,11188193

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von YStoll ,

Da hab ich angefangen, deine Antwort zu lesen und mich schon gefreut.
Aber du bist auch den gleichen Weg gegangen...

Beachte: die gesuchte Höhe = y+1

Kommentar von Willy1729 ,

Ich habe doch geschrieben: y=0,11..usw. und daß y das Stück Wand vom Oberrand der Kiste bis zum Brett ist und nicht etwa die Gesamthöhe. Paßt also.

Über diese Aufgabe habe ich mir vor vielen Jahren den Kopf zerbrochen, weil ich damals dachte, es gäbe dafür eine triviale Lösung. Das kannst Du aber vergessen. Du landest immer wieder bei einer Gleichung vierten Grades.

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von YStoll ,

Ja, das "Beachte:" war eher für andere gedacht, die sonst evtl. von verschiedenen Lösungen bei verschiedenen Antworten irritiert worden wären.

Das ist gut zu wissen. Kann man in so einem Fall auch beweisen, dass es keine "triviale Lösung" geben kann?

Kommentar von Willy1729 ,

Möglich. Aber den Beweis zu finden, übersteigt meine bescheidenen Fähigkeiten. Vielleicht kennt ja doch jemand einen einfacheren Weg; aber mir ist nie einer eingefallen. Dabei sieht das Ding auf den ersten Blick total simpel aus.

Kommentar von Willy1729 ,

Ich sehe gerade, Schachpapa hat einen Weg über Substitution gefunden. Über diese Lösung stolpert man aber auch nicht gerade.

Kommentar von lks72 ,

Ganz im Gegenteil. Man kann sicher sagen, dass es auf jeden Fall eine Möglichkeit gibt, das Problem einfacher zu lösen. Der Grund dafür ist die Gleichung vierten Grades. Da man weiß, wie Willy1729 schon dargelegt hat, dass man eine solche Gleichung mit den cardanischen Formeln lösen kann, gibt es mit Sicherheit eine Möglichkeit, durch geschickte Substitution das Problem einfach analytisch zu lösen, wie in der Lösung von Schachpapa gezeigt wurde. Die Cardanischen Formeln funktionieren ja schließlich auch durch eine Substitution.

Kommentar von Willy1729 ,

Die sind aber saukompliziert anzuwenden.

Kommentar von lks72 ,

Ja, aber sie stellen, da sie allgemeingültig sind, eine obere Schranke der Komplexität zur Lösung des Problems dar. Jede Spezialisierung des Problems kann durchaus einfachere Lösungsmöglichkeiten produzieren, wie man in der einfachen (aber nicht trivialen) Substitution in der Antwort von Schachpapa sieht. Grund, dass es hier so einfach klappen kann, liegt in der Spezialisierung der Ähnlichkeit, der zu der Identität waagerechtes Stück * senkrechtes Stück = 1 führt, was die Lösungen vereinfachen kann (wenn man darauf kommt) :-)

Kommentar von Willy1729 ,

Vielen Dank für den Stern.

Willy

Antwort
von Schachpapa, 22

L² + H² = 100 (Pythagoras)
L² + 2LH + H² - 2LH = 100  <=>  (L+H)² - 2LH = 100

(H-1)/1 = 1/(L-1) <=> (H-1)(L-1) = 1
<=> HL - L - H + 1 = 1  <=> HL = L+H

Oben eingesetzt:

(L+H)² - 2 (L+H) - 100 = 0

Substitution L+H = x:

x² - 2 x - 100 = 0
x = L+H = LH = 1 + wurzel(101)                  (negative Lösung fällt weg)
L = (1 + wurzel(101))/H

eingesetzt in L²+H² = 100:
(1+wurzel(101))² / H²  + H² = 100            | * H²
(1+wurzel(101))²  + (H²)² = 100 H²
(H²)² - 100 H² + (1 + wurzel(101))² = 0     pqF

H² = 50 +- wurzel(50² - (1 + wurzel(101))²)

H = wurzel(50 - wurzel(50² - (1 + wurzel(101))²)) = 1.111881931757237
L = wurzel(50 + wurzel(50² - (1 + wurzel(101))²)) = 9.937993689363653

Zugegeben, das ist nicht allein auf meinem Mist gewachsen. Wenn man ein bisschen "Leiter Kiste Aufgabe" googelt, findet man unter anderem dieses:
http://www.logisch-gedacht.de/matheraetsel/leiter/loesung/

Übrigens:

projecteuler.net

Problem 553 will be accessible in 8 hours, 21 minutes (Sat, 26 Mar 2016, 23:00)

Antwort
von Geograph, 30

10m = Hypotenuse,
H = Höhe
L = Länge

Ansatz mit Pythagoras
L² + H² = (10m)²

und Ähnlichkeitssatz
(H – 1m) / 1m = 1m / (L – 1m)

Eine Lösung habe ich im Moment noch nicht :-(

Kommentar von Willy1729 ,

Das ist auch nicht auf triviale Art zu lösen.

Kommentar von YStoll ,

Da bin ich auch gelandet.

Lässt sich zu einer Quartischen Gleichung mit 4 reellen Lösungen umformen.
Dank Wolfram Alpha kann man abschätzen, dass H=1/2 (1+sqrt(101)-sqrt(98-2 sqrt(101))), gerundet 1.112m die richtige Lösung sein muss.

Ob es einen einfacheren Weg gibt weiß ich nicht.

@dkilli:
Wo hast du die Aufgabe denn her?
Schule? Wenn ja, welche Klasse?

Kommentar von dkilli ,

Es ist nicht aus der Schule. Aber ich weiß nicht mehr woher ich die Aufgabe her hab. Es ist schon mindestens 40 Jahre her.

Kommentar von YStoll ,

Dann ist es gut möglich, dass die quartische Gleichung echt der einzige Weg ist.

Das wäre ein schönes Beispiel für eine Aufgabe die zwar leicht aussieht, aber alles andere als einfach ist.

Kommentar von Schachpapa ,

H-1 = 1 / (L-1)

nach H auflösen:
H = 1/(L-1) + (L-1)/(L-1) = L /(L-1)

einsetzen:

L² + L²/(L-1)² = 100
L²(L-1)² + L² = 100 (L-1)²
L²(L-1)² + L² - 100 (L-1)² = 0

L^4 - 2 L^3 - 98 L^2 + 200 L - 100 = 0

Diese Nullstellen kann man (mit Schulwissen) nur näherungsweise bestimmen (oder mit WolframAlpha)

Am Ende ist L = 9,9380 und H = 1,1119

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