Frage von alterwasd, 30

Hochpunkt/Tiefpunkte bestimmen?

Hallo,

Ich habe folgende Gleichung: f(x)=x^3-6x^2+9x+1.

Um den tiefpunkt bzw. hochpunkt zu bestimmen muss man ja die ableitung bilden und die gleich null setzten.

F´(x)=3x^2+12x+9

Doch wie setzte ich diese gleich null? danke im voraus

Antwort
von Naydoult, 8

Um die Extrema einer Funktion zu bestimmen musst Du von der Ableitung die Nullstellen herausfinden. Das liegt daran, weil an den Extrema die Steigung genau 0 beträgt und sie somit zu Nullstellen werden.

f(x)=x³-6x²+9x+1

f´(x)=3x²+12x+9

Um bei f´ die Nullstellen herauszufinden setzt Du die Funktion gleich Null:

3x²+12+9=0 Du musst hier nach x auflösen, wie bei einer Gleichung.

Allgemein ist das hier eine quadratische Funktion, die die Form:

ax²+bx+c hat.

Wir lösen nach x auf. (Beweis der abc-Formel)

ax²+bx+c=0 l -c

1

ax²+bx=-c l *4a

2

4a²x²+4abx=-4ac l +b²

3

4a²x²+4abx+b²=b²-4ac l Vereinfache

4

(2ax)²+2*2axb+b²=b²-4ac

5

(2ax)²+(2ax)²+b²=b²-4ax

6

(2ax+b)²=b²-4ac l √

7

√((2ax+b)²)=√b2-4a

8

2ax+b=

±√(b²-4ac) l -b

9

2ax=-b±√(b²-4ac) l :2a

10

x=-b±√(b²-4ac)/2a))

Nun haben wir durch äquivalente Umformung nach x aufgelöst. Wir erhalten die sogenannte abc-Formel bzw die Mitternachtsformel. Wir können nun einfach hier einsetzen und erhalten immer x.

Hier ein Mathesong zur abc-Formel:

Alternativ bietet sich auf die pq-Formel an, wobei man da vorher noch durch a teilen muss. Die pq-Formel leitet man sich her, indem man die Form x²+px+q annimmt und mithilfe der quadratischen Ergänzung auflöst.

Mathesong zur pq-Formel:

Nun zurück zur Aufgabe, wir setzen nun 3x²+12+9 in die abc-Formel ein.

x=-b±√(b²-4ac)/2a)) für die Form ax²+bx+c

a=3

b=12

c=9

Einsetzen und wir erhalten:

x=-12±√(12²-4*3*9)/2*3))

x_0=-11

x_1=-13

Die Lösungsmenge lL={-11, -13}

Also die Funktion 3x²+12+9 besitzt zwei Nullstellen an den Stellen x=-11 und x=-13.

Kommentar von Naydoult ,

Hatte eigentlich meine Antwort noch bis in die letzten paar Sekunden bearbeitet, da ich hier Vorzeichenfehler drinnen habe.

Einmal ist die Ableitung von (x³-6x²+9x+1)´=3x-12x+9

Wir nehmen für die Lösungsmenge die Menge der reellen Zahlen an, wir überprüfen vorher ob mindestens eine Lösung für die reellen Zahlen existieren kann. Dafür setzen wir vorerst in die Diskriminante ein (das was unter der Wurzel steht) und dies ist negativ.

Demnach ist lL={ }

Also die Funktion 3x²-12x+9 besitzt keine Nullstelle.

Das kann schon nur ein Vorzeichenfehler ausmachen... ;-)

Kommentar von Naydoult ,

Langsam wird´s echt zu viel mit den Fehlern... xD

Also es existieren zwei Lösungen.

x_1=3 und

x_2=1

Soo, demnach ist die Lösungsmenge lL={3, 1}

Die Funktion x³-12x+9 besitzt an den Stellen x=3 und x=1 eine Nullstelle.

Ich hoffe mal weitere Fehler sind nicht drinnen. xD

Expertenantwort
von PWolff, Community-Experte für Mathematik, 13

Du hast hier einen Vorzeichenfehler drin (bei -12x):

F´(x)=3x^2-12x+9

3x^2-12x+9 = 0  solltest du mit abc-Formel, Mitternachtsformel oder (nach Division beider Seiten durch 3) mit pq-Formel berechnen können.

Wenn du eine negative Zahl unter der Wurzel hast, hat die Funktion eben keine Extrema. Kommt bei Funktionen 3. Grades schon mal vor.

Übrigens hat eine Funktion 3. Grades auch keine Extrema, wenn da eine 0 unter der Wurzel steht: sie hat dann einen Sattelpunkt.

Antwort
von FuHuFu, 6

F´(x)=0

3x^2-12x+9=0          | :3

x^2-4x+3=0 

Quadratische Gleichung lösen! (mit Satz von Vieta)

(x-3)(x-1)=0

x1=3      x2=1

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