Hochpunkt (Scheitelpunkt) berechnen... Aber wie?

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9 Antworten

Die Aufgabe lautet: f(x)=-5x²+10x+1,5


Ein Scheitelpunkt besteht immer aus 2 Koordinaten, nämlich aus x und y. P(x|y)

Wenn gefragt werden würde nach einer Stelle, dann wäre nur das x damit gemeint.

Wenn extra nach dem Scheitelpunkt gefragt ist, dann lautet dieser:

S(0|1,5), weil du generell beid dieser Form der x Wert immer 0 ist, und das was am Ende ohne x steht ist immer der y- Wert.


Anders würde es sich bei 2*(x-3)² +10 sein.

Hier wäre der Scheitelpunkt(3|10) . Wenn so eine Form gegeben ist, dann immer das was in der Klammer ist das Gegenteil nehmen von der -3, also 3. Und die 10 steht hinten alleine ohne x oder sonstwas, womit dieser der y- Wert ist.

Zum Hochpunkt:

Du musst die 1. Ableitung bilden und diese dann = 0 setzen.

Dann das Ergebnis setzt du dann in die 2. Ableitung ein, um zu ermitteln

Wenn das Ergebnis von der 1. Ableitung, in der 2. Ableitung eingesetzt und aus ausgerechnet hast, und dort kleiner null ist, so handelt es sich um ein Hochpunkt. Ist das Ergebnis größer 0, dann um ein Tiefpunkt.

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f ' (x) = - 10x + 10

- 10x + 10 = 0

- 10x = - 10

x = 1

f'' (x) = - 10

Du siehst hier bei der 2. Ableitung, das wir nichts für x einsetzen können, womit -10 unser Ergebnis ist. - 10 ist kleiner als 0, weshalb ein Hochpunkt vorliegt.

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Wie du bereits erkannt hast, ist bei einer Parabel der Scheitelpunkt gleichzeitig auch der Extremwertpunkt.


Das kannst du verallgemeinern -->

y = a * x ^ 2 + b * x + c = a * (x - u) ^ 2 + v


u und v lassen sich aus a und b und c berechnen -->

u = -b / (2 * a)


v = (4 * a * c - b ^ 2) / (4 * a)

Der Scheitelpunkt liegt dann bei (u | v)

Ist a > 0, dann ist die Parabel nach oben geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Tiefpunkt.

Ist a < 0, dann ist die Parabel nach unten geöffnet, und der Scheitelpunkt der Parabel ist ein Hochpunkt.

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Dein Beispiel -->

f(x) = -5 * x ^ 2 + 10 * x + 1.5

a = -5 und b = 10 und c = 1.5

u = -10 / (2 * -5) = 1

v = (4 * -5 * 1.5 - 10 ^ 2) / (4 * -5) = 6.5

f(x) = -5 * x ^ 2 + 10 * x + 1.5 = -5 * (x - 1) ^ 2 + 6.5

Scheitelpunkt (1 | 6.5)

Da a < 0 ist, deshalb handelt es sich beim Scheitelpunkt um einen Hochpunkt.

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Kommentar von Volens
24.02.2016, 02:14

Sieht nicht so aus, als hätten viele den richtigen y-Wert 6,5 gefunden.

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Leider hast du uns nicht verraten, welche Voraussetzungen du besitzt. Der Ausdruck "Scheitelpunkt" weist darauf hin, dass du ihn vielleicht elementar berechnen sollst, also mit quadratischer Ergänzung. Der Ausdruck Hochpunkt allerdings weist auf Differentialrechnung hin. Ich zeige, wie es am schnellsten geht, wenn man die Gleichung der Kurve kennt, nämlich mit Rudimenten der p,q-Formel:

f(x): -5x²+10x+1,5 = 0   | /(-5)
          x² - 2x - 0,3 = 0                      p = -2        -p/2 = 1

Die x-Koordinate des Scheitelpunkts (Hochpunkts) ist also 1.
Daher f(x) = 6,5

S(1|6,5)

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Du bildest die Ableitung und setzt diese =0 :) das was du für x herausbekommt setzt du dann in die Ursprungsgleichung ein und erhältst den vollständigen Punkt

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f(x) = -5x² + 10x + 1,5

<=> -1 * (5x² - 10x - 1,5)

<=> -1 * (5x² - 10x + 5² - 5² - 1,5)

<=> -1 * ((x - 5)² - 5² - 1,5)

<=> -1 * ((x - 5)² - 26,5)

<=> -1 * (x - 5)² + 26,5

Falls du nicht weisst, was du damit anfangen sollst, hier ein Link wo ich die Scheitelpunktsform etwas detaillierter beschreibe:

https://www.gutefrage.net/frage/wie-kann-ich-die-gleichung-einer-parabel-in-mathe-herausfinden?foundIn=list-answers-by-user#answer-195671764

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Kommentar von slon333
23.02.2016, 22:22

Ich habe die 5 stehen lassen. Achtung das ist falsch !!!

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Du musst die Gleichung in die Scheitelpunktform bringen, indem du die 5 ausklammerst und die quadratische Ergänzung machst. In der Oberstufe müsstest du freilich die 1. Ableitung bilden und nullsetzen...

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hier gucken?

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Erste Ableitung bilden:

f'(x) = 10x +10

Dann erste Ableitung 0 setzen:

f'(x)=0

=> 10x +10 =0

Nach x auflösen:

=> 10x = -10

<=> x = -10/10

<=> x = -1.

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Ableitung bilden und mit 0 gleichsetzen

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