Frage von PaulaSmiley, 21

Hoch, Tief und Sattelpunkt bestimmen?

Hey,

Wir sollen folgende Funktionen auf Hoch-Tief und Sattelpunkte untersuchen:

A) f(x)=x^2(x-2) B) f(x)=x^5+2,5x^4 C) f(x)=1/5x^5-2/3x^3+x

Nun habe ich bereits jeweils die ersten beiden Ableitungen gemacht, weiß nun aber nicht weiter. Was muss ich jetzt machen? LG

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 16

Ich zeig's dir für A), B) und C) erfolgen simultan.

Für Extrema gilt: f'(x)=0 und f''(x) ungleich 0

Für Wendepunkte gilt: f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0

Für Sattelpunkte gilt: f'(x)=0, f''(x)=0 und f'''(x) ungleich 0

f(x)=x²*(x-2) ---> f(x)=x³-2x²

f'(x)=3x²-4x

f''(x)=6x-4

f'''(x)=6

Extrema:

f'(x)=0

0=3x²-4x

0=x*(3x-4)

--> x=0 oder 3x-4=0 --->x=4/3

Einsetzen in f''(x):

f''(0)=-4 --> -4<0, Hochpunkt bei x=0

f''(4/3)=4 --> 4>0, Tiefpunkt bei x=0

Einsetzen in f(x):

f(0)=0 ---> HP(0|0)

f(4/3)=-1.18518519 --> TP(4/3 | -1.18518519)

Wende/Sattelpunkte:

f''(x)=0

0=6x-4 --> x=2/3

Einsetzen in f'''(x):

f'''(2/3)=6 ---> Wendepunkt bei x=2/3

Einsetzen in f'(x):

f'(2/3)=-1.33333333 ungleich 0, also "nur" ein WP bei x=2/3

Einsetzen in f(x):

f(2/3)=-0.592592593 ---> WP(2/3 | -0.592592593)

Antwort
von Folon, 13

Wenn du die 1. Ableitung gleich Null setzt, bekommst du die x-Positionen der Extremalstellen (Hoch-/Tief-/Sattelpunkte).
Die setzt du in die 2. Ableitung ein und unterscheidest

  • Ist die 2. Ableitung Positiv, hast du ein Minimum
  • Ist die 2. Ableitung Negativ, hast du ein Maximum
  • Ist die 2. Ableitung null, hast du einen Sattelpunkt
Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 7

Bedingung Maximum f´(x)=0 und f´´(x) < 0

         "         Minimum f´(x)=0 und f´´(x) > 0

          " Wendepunkt  f´´(x)= 0 unf f´´´(x) ungleich Null

        "     Sattelpunkt f´´(x)=0 und f´´´(x) ungleich Null

zusätzlich noch f´(x)= 0

HINWEIS : Der "Sattelpunkt" ist ein spezieller Wendepunkt mit der zusätzlichen Bedingung f´(x)=0. Die Tangente im Sattelpunkt läuft parallel zur x-Achse,also Steigung m=0.

B f(x)=x^5 + 2,5 *x^4

Maximum bei x=- 2 y=8

Minimum bei x=0 und y=0

f´´(x)=16 *x^3.... Nullstellen bei x1= 0 und x2= - 1,875..

f´´´(x)=48 *x^2+60 * x   mit x=- 1,875 ungleich Null ,also Wendepunkt

mit x1=0  ist f´´´(x) =0 also kein Wendepunkt

Die anderen Aufgaben gehen genau so.

Prüfe auf Rechen-u.Tippfehler.

Antwort
von poldiac, 8

Bedingung
Hochpunkt berechnenf′(x0)=0undf″(x0)<0
Tiefpunkt berechnenf′(x0)=0undf″(x0)>0
Wendepunkt berechnenf″(x0)=0

f‴(x0)≠0
Sattelpunkt berechnenf″(x0)f‴(x0)=0≠0}

Bedingung für einen Wendepunkt
und
f′(x0)=0
(Bedingung für eine waagrechte Tangente)

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