Frage von so000, 91

Hoch bzw. Tiefpunkt?

Hallo :)
Ich habe eine Frage :)
Also ich weiß wie man Wendepunkte ausrechnet, aber ich habe hier die Funktion f(x)=x^5-5*x^4+5x^2+1
So dafür brauche ich die erste und die zweite Ableitung.
I. F'(x)=5*x^4-20*x^3+10x
II. F''(x)=20*x^3-60*x^2+10
Bei der ersten muss ich ja die f'(x) gleich 0 setzten , und dafür bekomme ich 4 x Werte, aber wenn ich es null setzte kommt x1/2 gleich 0 , aber die Funktion hat 4 x Werte , also ich habe es gezeichnet und da kommt nur einmal eine 0 als x Wert raus der Rest sind andere zahlen, meine frage ist, wie kann ich diese ganzen 4 x werte heraus bekommen ohne 2mal 0 zu haben oder ohne dass ich die polynomdivisiun benutze :)
Also kann mir da jemand helfen ? :)
Danke im Voraus :))

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von SKenb, 43

[-0.65; 0; 0.78; 3.86] diese Nullstellen bekomme ich heraus?

Kommentar von so000 ,

Wie bekommen sie das raus ? :) könnten Sie mir den Weg erklären ? :)

Kommentar von SKenb ,

Taschenrechner  :D

Müsst er diese Aufgabe(n) ohne Taschenrechner rechnen?

Kommentar von so000 ,

Nein eigentlich nicht :D aber wie mit Taschenrechner ? :D was haben Sie eingegeben ? :)

Kommentar von SKenb ,

Was hast du für einen Taschenrechner?

: solve(f'(x)=0,x)

Kommentar von so000 ,

Casio fx-991DE Plus :D

Kommentar von SKenb ,

Über der "calc"-Taste ist in gelb die Funktion "solve" angeführt - müsste also funktionieren

Kommentar von so000 ,

Naja aber ich versteh immer noch nicht wie und was ich eingeben muss :/

Kommentar von SKenb ,

solve(<Die Gleichung>, <Ges. Variable>)

Die Gleichung: x^4... = 0

Kommentar von so000 ,

Danke :)

Expertenantwort
von DepravedGirl, Community-Experte für Mathe, 12

f(x) = x ^ 5 - 5 * x ^ 4 + 5 * x ^ 2 + 1

f´(x) = 5 * x ^ 4 - 20 * x ^ 3 + 10 * x

f´´(x) = 20 * x ^ 3 - 60 * x ^ 2 + 10

f´´´(x) = 60 * x ^ 2 - 60

----------------------------------------------------------------------------------------------------

5 * x ^ 4 - 20 * x ^ 3 + 10 * x = 0

Ein x kannst du ausklammern -->

x * (5 * x ^ 3 - 20 * x ^ 2 + 10) = 0

Merksatz -->

Ein Produkt hat den Wert Null, wenn eines seiner Faktoren den Wert Null annimmt.

Deshalb ist eine Nullstelle bei x _ 1 = 0

Hilfsfunktion -->

h(x) = 5 * x ^ 3 - 20 * x ^ 2 + 10

h´(x) = 15 * x ^ 2 - 40 * x

von h(x) die Nullstellen bestimmen.

Wertetabelle für h(x) anfertigen -->

x | h(x)

-10 → -6990
-9 → -5255
-8 → -3830
-7 → -2685
-6 → -1790
-5 → -1115
-4 → -630
-3 → -305
-2 → -110
-1 → -15
0 → 10
1 → -5
2 → -30
3 → -35
4 → 10
5 → 135
6 → 370
7 → 745
8 → 1290
9 → 2035
10 → 3010

Anhand dieser Wertetabelle kannst du ein paar Sachen interpretieren -->

1.) Es gibt keine Nullstellen an Stellen wo x eine ganze Zahl ist.

2.) Eine Nullstelle liegt zwischen -1 und 0, wegen dem Vorzeichenwechsel von - nach + von -15 und +10. Die Nullstelle liegt dichter an 0 als an -1, weil |10| kleiner als |-15| ist.

3.) Eine Nullstelle liegt zwischen 0 und +1, wegen dem Vorzeichenwechsel von + nach - von +10 und -5. Die Nullstelle liegt dichter an +1 als an 0,
weil |-5| kleiner als |+10| ist.

4.) Eine Nullstelle liegt zwischen +3 und +4, wegen dem Vorzeichenwechsel von - nach + von -35 und +10. Die Nullstelle liegt dichter an +4 als an +3,
weil |10| kleiner als |-35| ist.

| ... | bedeutet Betrag (Betragsfunktion)

Hier wendet man am besten das Newton-Verfahren an -->

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

1.) Wähle einen Startwert für x, den kannst du anhand einer Wertetabelle oder einer Zeichnung der Funktion erhalten.

2.) Berechne -->

z= x - h(x) / h´(x)

3.) Vergleiche z und x miteinander, wenn sie sich zu stark von einander unterscheiden, dann mache weiter, wenn nicht dann springe zu 6.)

4.) Setzte x = z

5.) Springe zu 2.)

6.) Setze x = z

7.) x ist das Endergebnis, beende den Algorithmus jetzt.

Für das Newtonverfahren musst du die Funktion h(x) kennen, h´(x) kennen und einen sinnvollen Startwert für x haben.

Mit dem Startwert x = 0 (siehe Erläuterungen zur Wertetabelle oben) erhält man leider keine Konvergenz, aber mit dem Startwert x = -1 erhält man nach 5 Iterationen den Wert x = -0.6554423815498308

Mit dem Startwert x = 1 (siehe Erläuterungen zur Wertetabelle oben) erhält
man nach 5 Iterationen den Wert x = +0.7892441190408083

Mit dem Startwert x = 4 (siehe Erläuterungen zur Wertetabelle oben) erhält
man nach 5 Iterationen den Wert x = +3.866198262509023

Damit hat man nun alle Nullstellen der 1-ten Ableitung f´(x) zusammen -->

x _ 1 = 0

x _ 2 = -0.6554423815498308

x _ 3 = +0.7892441190408083

x _ 4 = +3.866198262509023

f(0) = 1

f(-0.6554423815498308) = 2.1042539349880569988

f(+0.7892441190408083) = 2.480706605355096441

f(+3.866198262509023) = -177.5849605403431534

-------------------------------------------------------------------------------------------------

Ob das allerdings Tiefpunkte oder Hochpunkte sind, das weißt du jetzt immer noch nicht.

Dazu musst du die Nullstellen der 1-ten Ableitung in f´´(x) einsetzen.

Ist f´´(x) < 0 für einen x-Wert der eine Nullstelle von f´(x) ist, dann hast du ein Maximum.

Ist f´´(x) > 0 für einen x-Wert der eine Nullstelle von f´(x) ist, dann hast du ein Minimum.

f´´(0) = 10 (Minimum)

f´´(-0.6554423815498308) = -21.407905689365722635 (Maximum)

f´´(+0.7892441190408083) = -17.54187441118997034 (Maximum)

f´´(+3.866198262509023) =  268.9497801005559040 (Minimum)

Kommentar von DepravedGirl ,

Korrektur -->

f´´´(x) = 60 * x ^ 2 - 120 * x

muss es heißen ;-)) !

Kommentar von so000 ,

Vielen Dank nochmal :)

Kommentar von DepravedGirl ,

Gerne :-)) !

Expertenantwort
von MeRoXas, Community-Experte für Mathe, 28

f(x)=x^5-5x^4+5x²+1

f'(x)=5x^4-20x³+10x

f''(x)=20x²-60x²+10

Notw. Bed. für Extrema: f'(x)=0

0=5x^4-20x³+10x

Wir klammern x aus:

x*(5x³-20x²+10)=0

x1=0

oder

5x³-20x²+10x=0

Möchtest du dir die Polynomdivision ersparen, bedienst du dich der Cardanischen Formeln (die werdet ihr wohl nie behandeln, du hast aber nach einer Alternative gefragt).

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln

Der Lehrer wird also erwarten, dass eine Polynomdivision durchgeführt wird, demnach solltest du das auch tun.

Kommentar von so000 ,

Danke :) aber wir hatten das mit dem polynom noch nicht , deswegen , wie geht polynomdivisiun? :)

Kommentar von MeRoXas ,

Das ist hier gut erklärt: 

https://www.youtube.com/watch?v=OdlYNZXjmWA

Kommentar von Ellejolka ,

in der letzten Zeile ist ein x zu viel; bei 10x muss es 10 heißen.

Kommentar von MeRoXas ,

Klar, kann es nun leider nicht mehr bearbeiten, ansonsten hätte man ja wieder den Satz vom Nullprodukt nutzen können. Danke.

Kommentar von so000 ,

Danke nochmal :)

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 23

f ' = 0

dann x ausklammern , also x1=0

dann Klammer=0 und mit Polynomdiv. lösen.

Kommentar von so000 ,

Aber wir hatten kein polynomdivisiun :/

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