Frage von linaistsina, 24

Hilfffee Textaufgaben :((((?

hey ihr lieben könnt ihr mir helfen bei dieser Aufgabe : Gleichungssystem. Wähle dein eigenes Verfahren

römische 1 : 4y + 3x = 15 römische 2 : 8y - 3x = 9

könnt ihr mir bei dem Lösungsweg und der Lösung bitte Helfen

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 10

Hallo,

das ist eigentlich keine Textaufgabe, weil die Gleichungen ja schon da stehen, Du mußt sie Dir nicht aus dem Text erarbeiten.

Gleichungssysteme kannst Du nach verschiedenen Verfahren lösen. Immer geht es aber darum, von mehreren Unbekannten alle bis auf eine zu eliminieren, so daß Du diese letzte Unbekannte mit Hilfe einer Gleichung berechnen kannst.

Du brauchst pro Unbekannte eine Gleichung, damit das System lösbar ist.

Allerdings ist das noch keine Garantie dafür, daß es wirklich eine Lösung gibt. Es gibt auch Gleichungssysteme, die entweder keine oder unendlich viele Lösungen besitzen. Das ist hier aber nicht der Fall.

Das hier ist relativ simpel: Zwei Unbekannte, zwei Gleichungen, glatte Zahlen.

Du darfst folgendes mit den einzelnen Gleichungen anstellen, um eine Lösung zu finden: Du darfst sie vertauschen. Du darfst eine zur anderen addieren oder eine von der anderen subtrahieren. Du darfst eine Gleichung mit einem Faktor multiplizieren oder durch einen Faktor dividieren. 

Dir stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung:

Additionsverfahren: Du manipulierst zwei Gleichungen so, daß eine Unbekannte in beiden denselben Faktor hat, nur mit umgekehrtem Vorzeichen. Wenn Du dann beide Gleichungen addierst, heben sich die Unbekannten auf.

Haben sie gleiche Vorzeichen, ziehst Du eine Gleichung von der anderen ab. Das kommt aufs Gleiche hinaus.

Gleichsetzungsverfahren: Du löst beide Gleichungen nach derselben Unbekannten auf und setzt sie gleich. 

Einsetzungsverfahren: Du löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt diese in die andere Gleichung ein.

Gauß-Verfahren (eignet sich für Gleichungssysteme mit drei und mehr Unbekannten und Gleichungen. Du eliminierst Unbekannte so lange von oben nach unten, bis in der letzten Gleichung nur noch eine Unbekannte übrig bleibt. Deren Lösung setzt Du nach und nach in die anderen Gleichungen ein, bzw. Du wiederholst das Spiel auf der anderen Seite, so daß Du nur noch Gleichungen mit jeweils einer anderen Unbekannten erhältst.

Dann gibt es noch ein Determinantenverfahren nach der sogenannten Cramerschen Regel. Das hier zu erklären würde aber zu weit führen.

Nun zu Deinen Gleichungen:

I: 4y+3x =15 

II: 8y-3x =9

Wenn Du diese beiden Gleichungen addierst, (Additionsverfahren), verschwindet das x:

12y=24

Das bringt uns direkt zu y=2.

Wenn Du nun die 2 für ein y in einer der anderen Gleichungen einsetzt, kannst Du x berechnen. Z.B. in I:

8+3x=15

3x=7

x=7/3

Wenn Du die Lösung, x=7/3 und y=2 zur Probe in beide Gleichungen einsetzt, siehst Du, daß das Ergebnis stimmt.

Du kannst auch das Gleichsetzungsverfahren benutzen, indem Du beide Gleichungen nach derselben Unbekannten mit demselben Faktor auflöst:

Wenn Du Gleichung I mit 2 multiplizierst, bekommst Du dort auch ein 8y wie in Gleichung II:

8y+6x=30

aufgelöst nach 8y ergibt das: 8y=30-6x

Löst Du auch Gleichung II nach 8y auf, erhältst Du: 8y=9+3x

Demnach muß also 30-6x das Gleiche sein wie 9+3x, denn beides steht ja für 8y:

30-6x=9+3x.

Dann bekommst Du 9x=21, also x=21/9=7/3

Da 9+3x=8y ist, bedeutet dies, daß 8y=9+3*7/3=16 ist, y also gleich 2.

Einsetzungsverfahren:

Du löst eine Gleichung nach einer Unbekannten auf und setzt sie in die andere ein:

4y=15-3x

y=15/4-(3/4)x

Dies in die andere Gleichung eingesetzt:

8*[15/4-(3/4)x]-3x=9

ausmulitpliziert:

30-6x-3x=9

zusammengefaßt und nach x aufgelöst:

21=9x

x=21/9=7/3

Da y=15/4-(3/4)x ist und x gleich 7/3, ist y=15/4-21/12=(45-21)/12=24/12=2

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von Gletti, 12

Ja du addierst die 1. gleichung mit der 2. Gleichung.

Dann bleibt

12y=24

übrig.

Dann durch 12 teilen

y=2

und dann y beispielsweise in die 1. Gleichung einsetzen und x ausrechnen


8+3x=15      \ -8

3x    = 7       \ : 3

x      = 7/3



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