Frage von konraetchen202, 55

Hilfe zur Lösung einer Matheaufgabe zum Thema Tangentenberechnung?

Ich komme nicht auf die Lösung. Kann mir bitte jemand helfen?

f(x)=x²-2x+2 und g(x)=-x²+6x-6 sind gegeben b) An welcher Stelle haben sie eine gemeinsame Tangente? c) Nennen sie die Tangentengleichung d) Es gibt genau eine Stelle, an der die Tangente an den Graphen f senkrecht auf der gemeinsamen Tangente von f und g steht. Bestimmt diese Stelle

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe & Schule, 31

Hallo,

die gemeinsame Tangente liegt da an, wo beide Funktionen die gleiche Steigung besitzen.

Du mußt also die Ableitungen gleichsetzen.

f'(x)=2x-2

g'(x)=-2x+6

2x-2=-2x+6

4x=8

x=2

An der Stelle x=2 liegt die gemeinsame Tangente an.

Wenn Du für x eine 2 in eine der beiden Ableitungen einsetzt, bekommst Du die Steigung, die auch die Tangententsteigung ist, heraus.

2*2-2=2

Die gemeinsame Steigung an der Stelle x=2 ist also 2.

Die Tangente hat also die Gleichung y=2x+b

b berechnest Du, indem Du x=2 in eine der beiden Funktionsgleichungen einsetzt:

f(2)=2²-2*2+2=2

Die Tangentengleichung wird bei x=2 also auch 2:

2*2+b=2

b=-2

Tangentengleichung: y=2x-2

Senkrecht zu dieser Tangente ist eine Tangente mit der Gleichung
y=-0,5x+b (0,5=Kehrwert der Steigung mit umgekehrtem Vorzeichen).

Diese Tangente liegt dort an f(x) an, wo auch f(x) die Steigung -0,5 hat.

f'(x)=-0,5

2x-2=-0,5

2x=1,5

x=0,75

Der dazugehörige Funktionswert, also f(0,75) lautet 1,0625

-0,5*0,75+b=1,0625

-0,375+b=1,0625

b=1,4375

Senkrechte Tangente:

y=-0,5x+1,4375

Herzliche Grüße,

Willy

Kommentar von bergquelle72 ,

Ich finde es nicht gut, daß Du in deinem mathematischen Übereifer immer die Hausaufgaben für alle machst.

Es erklären und den Weg weisen ist doch viel hilfreicher und sinnvoller.

z.B. so wie es FuHuFu gemacht hat ....

Kommentar von Willy1729 ,

Wer meine Rechnung nachvollzieht, kann daran lernen, wie es geht. Viele können mit reinen Erklärungen nichts anfangen.

Kommentar von bergquelle72 ,

Aber die Realität wird sein, daß alle einfach Deine Rechnung abmalen und das Heft zuschlagen.

Kommentar von Willy1729 ,

Dann haben sie die Chance verpaßt, etwas dazuzulernen.

Jeder ist seines Glückes Schmied.

Kommentar von rumar ,

Hallo Willy : Du hast geschrieben:

"die gemeinsame Tangente liegt da an, wo beide Funktionen die gleiche Steigung besitzen."

Das genügt nicht !  Falls an einer  Stelle x gilt  f'(x) = g'(x) , dann bedeutet dies erst, dass an dieser Stelle die Tangenten von f und g parallel zueinander sind, aber noch keineswegs, dass diese Tangenten auch übereinstimmen.

Im vorliegenden Beispiel gilt aber tatsächlich nebst   f'(2) = g'(2)  auch noch   f(2) = g(2)  , woraus (zusammen) dann folgt, dass man tatsächlich an dieser Stelle x=2  eine gemeinsame Tangente beider Parabeln hat - d.h. die beiden Parabeln berühren einander an dieser Stelle, im Punkt  S(2|2) .  Es muss aber geprüft werden, ob wirklich auch  f(2) = g(2)  zutrifft ! Ohne diese Prüfung ist die Aufgabe nicht vollständig gelöst.

(Nebenbei:  zwei Parabeln könnten allenfalls auch eine gemeinsame Tangente haben, welche die beiden Parabeln an zwei verschiedenen Stellen berühren.)

Kommentar von Willy1729 ,

Richtig. Habe ich natürlich vorher nachgeprüft, ohne das hier noch mal besonders zu erwähnen. Ein wenig mitdenken sollen die Kids ja doch.

Expertenantwort
von Ellejolka, Community-Experte für Mathe, 21

b) f ' = g ' setzen und x berechnen.

c) das x in f und g einsetzen um die y-werte zu bekommen.

f ' = m     dann Tangente y=mx+b

d) senkrecht  also m1 = -1/m2

Antwort
von FuHuFu, 22

Damit zwei Funktionen eine gemeinsame Tangente haben, müssen 

  1. die beiden Funktionen einen Punkt gemeinsam haben
  2. die Steigungen also der Wert der Ableitungen in diesem Punkt übereinstimmen.

Also musst Du erstmal die Funktionen gleichsetzen, um den gemeinsamen Punkt zu bestimmen, und dann die Ableitungen in diesem Punkt prüfen.

Für die Tangentengleichung machst Du den Ansatz y = m x + t. 
m kennst Du, das ist der Wert der Steigung und um t zu bestimmen setzt Du die Koordinaten des gemeinsamen Punktes ein.

Für zwei senkrechte Geraden mit den Steigungen m und m ' gilt:  m  m ' = -1
Also musst Du noch einen Punkt suchen wo die Ableitung f ' (x) den Wert -1/m hat (mit dem zuvor ermittelten m.

Das sollte als Lösungshinweis reichen.

Antwort
von bergquelle72, 14

Ich rechne es Dir nicht aus!

Aber ich erkläre es Dir gerne: b) gemeinsame Tangente heißt: sie haben in diesem Punkt die gleiche Steigung; also folgende Vorgehensweise: Steigungsfunktion (1.Ableitung) von beiden berechenen und diese dann gleichsetzen. Dadurch erhälst du den x-Wert dieses Punktes; den y-wert dann durch einsetzen in einer der beiden Funktionsgleichungen.

c) da Du dann die Steigung kennst und einen festen Punkt, kannst Du die Funktionsgleichung der Tangente (=Geradengleichung) ganz leicht aufstellen

Kommentar von bergquelle72 ,

d) wollte ich eben noch nachliefern, aber Willy hat es ja schon alles haarklein vorgerechnet, da kann ich es sein lassen

Antwort
von SupaKILLA, 16

Du musst erst den f(x) wert mit dem x² wert multiplizieren , dann die alleinstehenden zahlen in dem fall z.B die 2 von +2 subtrahieren.

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