Frage von jeviverlag, 83

Wurzeln in Gaußklammern, wie kann man das beweisen?

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht mehr weiter:

Beweise, dass [√(n)+√(n+1)]=[√(4n+2)] gilt, wobei n; positive ganze Zahlen (Die eckigen Klammern sollen Gaußklammern sein)

Ich habe mehrmals versucht, diese Aufgabe zu lösen aber ich kanns irgendwie nicht.

Könnt ihr vielleicht nur das Verfahren erklären, wie man mit solchen Aufgaben umgeht?

Hilfreichste Antwort - ausgezeichnet vom Fragesteller
von eterneladam, 11

Es reicht zu zeigen, dass keine ganze Zahl zwischen √n +√(n+1) und √(4n+2) passt, denn dann landen wir durch die Anwendung der Gauss-Klammer [ ... ] für beide Terme beim gleichen Ergebnis.

Beweis durch Widerspruch, angenommen, es gäbe doch eine solche Zahl z:

√n +√(n+1) < z < √(4n+2) (es kann nur Ungleichheit gelten, 4n+2 ist nie ein Quadrat)

Quadrieren: 2n+1 + 2√(n²+n) < z² < 4n+2

2n+1 abziehen: 2√(n²+n) < z²-2n-1 < 2n+1

Nochmal quadrieren: 4n²+4n < (z²-2n-1)² < 4n²+4n+1

Das ist offenbar ein Widerspruch, da zwischen zwei ganze Zahlen mit Abstand 1 nicht noch eine weitere passt!

Antwort
von amdphenomiix6, 47

Hast du es mal mit vollständiger Induktion über n versucht? Das sieht mir sehr danach aus

Kommentar von jeviverlag ,

ich habe noch nicht gelernt, wie Induktionen funktioniere... Kannst du es vielleicht erklären?

Kommentar von amdphenomiix6 ,

In welcher Klasse bist du denn?

Kommentar von jeviverlag ,

ich bin erst in der 9. Aber ich komme ursprünglich aus Korea und muss die Aufgaben auch lösen, die meine Schulkameraden in Korea in der Schule machen.

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