Frage von Himawari13, 72

Hilfe! Verzweifle an einer Mathe Aufgabe, wer kennt sich in Stochastik aus?

Ich sitze nun seit Stunden vor einer Aufgabe und stehe auf dem Schlauch, hoffentlich kann jemand helfen. Aufgabe:

Es wird mit den Buchstaben a,b,c,d,e,f ein Wort der Länge 5 gebildet. ( Ich weiß bereits es gibt 6^5 =7776 Möglichkeiten). Nun sei A das Ereignis: im gezogenen Wort kommt ein Buchstabe genau dreimal und ein anderer Buchstabe genau zwei mal vor. Berechne P (A). Wie berechne ich die Möglichkeiten für A???

Expertenantwort
von Willy1729, Community-Experte für Mathe, 24

Hallo,

vereinfache das Problem erst einmal auf zwei Buchstaben, etwa a und b.

Du bildest ein Wort, in dem der Buchstabe a dreimal und der Buchstabe b zweimal vorkommt.

Wieviel Möglichkeiten hast Du in diesem Fall?

Das ist leicht zu berechnen: Die drei a können sich auf (5 über 3)=10 verschiedene Arten in diesem Wort verteilen. In diesen 10 Möglichkeiten sind die beiden b bereits enthalten, weil ihnen ja nichts anderes übrigbleibt, als die jeweils zwei freien Plätze einzunehmen, außerdem wäre 5 über 2 auch 10.

Nun könntest Du a und b noch vertauschen, so daß Du dreimal b und zweimal a im Wort hast - auch hier gibt es wieder 10 Möglichkeiten. Das macht pro Buchstabenpaar 20 Möglichkeiten.

Nun hast Du nicht nur zwei, sondern sechs Buchstaben. Wieviele Paare kannst Du aus diesen sechs Buchstaben bilden? Das sind (6 über 2)=15.

Für jedes dieser Paare gibt es 20 Möglichkeiten, ein Wort aus einmal drei und einmal zwei gleichen Buchstaben zu bilden. Das macht zusammen 15*20=300.

Herzliche Grüße,

Willy

Antwort
von ClydefrogXL, 30

Die Antwort setzt sich zusammen aus den Antworten:

a) Wie wahrscheinlich ist es, genau dreimal den Buchstaben X zu ziehen?

Antwort: 5 über 3 mal (1/6) hoch 3 mal (5/6) hoch 2

Es gibt sechs Buchstaben, also das mal sechs nehmen (der Buchstabe wurde nicht spezifiziert).

b) Wie wahrscheinlich ist es, genau dreimal den Buchstaben Y zu ziehen?

Antwort: 5 über 2 mal (1/6) hoch 2 mal (5/6) hoch 3

Wie viele Buchstaben sind noch übrig? Mal fünf nehmen.

Die beiden Teilergebnisse multiplizieren. Jedenfalls wäre das mein Ansatz :)
Habe das mal eben aus dem Ärmel geschüttelt, gehe aber von der Richtigkeit aus.

Die Grundgesamtheit sollte stets 5^6 sein oder seh ich da was falsch?
Es gibt da aber auch noch was einfacheres. Ich recherchiere mal.

Kommentar von ClydefrogXL ,

schau mal hier bei: Permutation mit Wiederholungen. Da gibt es eine Formel für deren Anzahl. Die durch die Anzahl aller Permutationen teilen.

https://de.wikipedia.org/wiki/Permutation

Antwort
von DoTheBounce, 21

Sagen, wir die erste Position ist uns egal, d.h. hier lassen wir alle Buchstaben zu. Position 2 und 3 müssen nun aber den gleichen Buchstaben wie Pos 1 haben. Das hat je Position die Wahrscheinlichkeit von 1/6. Position 4 ist uns wieder egal -  außer, dass es nicht der gleiche Buchstabe wie 1-3 sein darf - das hat Wkt 5/6. Position 5 muss aber wieder so sein wie Pos 4, hat also wieder eine Wahrscheinlichkeit von 1/6.

Die Wahrscheinlichkeit für das ganze Wort ist also 1 * 1/6 * 1/6 * 5/6 * 1/6

Nun ist das nur die Wahrscheinlichkeit für ein spezielles Wort, bei dem wir bestimmte Positionen fest vorgegeben haben, d.h. wir müssen das noch mit der Anzahl der möglichen Permutationen mal nehmen. Davon gibt es 5 über 2 = 10.

Also ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 10 * 5 / 6^4 = 3,9 %

Andere Möglichkeit, wenn du über die Anzahl der Möglichkeiten gehen willst. Wie viele Möglichkeiten gibt es, 3 aus 5 Positionen auszuwählen? 5 über 3 = 10. Für diese 3 Positionen gibt es insgesamt 6 verschiedene mögliche Symbole. Für die anderen 2 Positionen gibt es noch 5 verschiedene zur Verfügung stehende Symbole

=> Anzahl Möglichkeiten = 10 * 6 * 5

=> P(A) = 10 * 6 * 5 / 6^5 = 3.9 %

Kommentar von Himawari13 ,

Danke! Das sieht sinnig aus, dass hilft mir sehr weiter :)

Antwort
von BackInTimeHD, 23

Sicher, dass das die ganze Aufgabe ist?

Kommentar von Himawari13 ,

Ja, dass ist die komplette Aufgabenstellung.

Antwort
von cookie999999, 34

Welche klasse ist den das ? Also ich kenne das nicht

Kommentar von Himawari13 ,

Hatte die Aufgabe in einer Klausur im Studium für Lehramt Sek. I ( Eigentlich soll es eine einfache Aufgabe sein, aber ich komme nicht auf die Lösung)  :(

Ich weiß nur das man mit (k über n) + (k über n) ... usw. Irgendwie rechnen soll... 

Kommentar von BackInTimeHD ,

Das kommt ganz darauf an, ob es binomialverteilt ist und welche Buchstaben genau zur Verfügung stehen. Sobald du unendlich viele Buchstaben hast, kannst du es so rechnen, ist die Anzahl begrenzt geht das nicht.

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