Frage von HansKaktus47, 29

Hilfe Rationale Funktion morgen Test?

Eine rationale Funktion 3.Grades hat bei (0/0) einen wendepunkt und bei (2/16) einen Extrempunkt. Bestimmen sie die Funktionsgleichung und geben sie an ob ein Hoch oder Tiefpunkt vorliegt.

Bitte um Lösung morgen Test Bitte oder Ansatz wenigstens??

Expertenantwort
von KDWalther, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 29

Allgemeiner Funktionsterm:

f(x) = a·x³ + b·b² + c·x + d

Du kennst zwei Punkte; jeweils die Koordinaten in die Gleichung einsetzen.

Bei x = 0 liegt ein Wendepunkt vor, also muss dort die 2. Ableitung den Wert 0 annehmen (notwendige Bedingung).

Bei x = 2 liegt eine Extremstelle vor, also muss dort die 1. Ableitung den Wert 0 annehmen (notwendige Bedingung).

Das führt im Endeffekt auf ein LGS mit zwei Unbekannten (die beiden anderen haben sich bereits ergeben) LGS lösen; Funktion aufschreiben; fertig!

Kommentar von Ellejolka ,

ax³+bx²+....  nur Schreibfehler

Kommentar von KDWalther ,

Danke!

Kommentar von HansKaktus47 ,

Kannst du den Endteil nochmal etwas ausführen bitte wäre sher dankbar :)

Kommentar von KDWalther ,

(0|0)  =>  f(0) = 0  =>  d = 0

WSt. bei x = 0  =>  f´´(0) = 0  =>  6a·0 + 2b = 0  =>  b = 0

(2|16)  =>  f(2) = 16  =>  a·2³ + c·2 = 16  (b = d = 0 schon ausgenutzt)

Extremum bei x = 2  =>  f´(2) = 0  =>  3a·2² + c = 0  (b = 0 schon ausgenutzt)

Kommentar von HansKaktus47 ,

Wie komme ich dann auf die finale FUnktionsgleichung ? also wenn b und d wegfallen ?

Kommentar von KDWalther ,

a·2³ + c·2 = 16  <=>  8a + 2c = 16
3a·2² + c = 0     <=>  12a + c = 0

Jetzt mit Additionsverfahren (oder einem anderen Verfahren; evtl. TR) dieses LGS lösen. Dann erhalte ich a = -1 und c = 12.

Also: f(x) = -x³ + 12x

Die Rechnungen kannst Du alleine?

Kommentar von Len98 ,

Du hast keine zwei Unbekannten, da du schließlich den Punkt (2/16) ebenfalls in die Gleichung einbringen kannst.

Kommentar von KDWalther ,

Wie: a und c (bzw. bei Dir a3 und a1) sind doch 2 Unbekannte, oder? :-)
Aber ich gebe gerne zu: ich kann besser rechnen als zählen :-))

Antwort
von becks2594, 14

f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
f'(x)=3ax^2+2bx+c
f''(x)=6ax+2b

f'(x)=0 => f(2)=8a+4b+2c+d=16
=> f'(2)=12a+4b+c=0

f''(x)=0 => f(0)=d=0
=> f''(0)=2b=0 <=> b=0

=> f(x)=ax^3+cx (nur ungerade Exponent.!)
f'(x)=3ax+c

USW. .......

Antwort
von Len98, 15

Ich habe dir das alles mal in dem Foto unten veranschaulicht.

Für eine funktion 3. Grades brauchst du ja 4 Bedingungen:

f(0) = 0 gibt an, dass der Punkt durch den Ursprung geht,

Da dieser Punkt gleichzeitig eine Wendestelle ist, hat er in der Ableitung einen Hoch-/Tiefpunkt und somit ist in der 2. Ableitung an diesem Punkt eine Nullstelle

f''(0) = 0

f(2) = 16 ist der angegebene Hoch-/Tiefpunkt,

f'(2) = 0 beschreibt somit, dass es auch tatsächlich eine Extremstelle ist.

Das ganze gibst du nun in die Formeln ein, wobei die Gleichungen I und II noch die normale Funktion sind, bei III wurde die 1. Ableitung verwendet und bei IV wurde die 2. Ableitung verwendet.

Ich hoffe du hast es soweit verstanden, bei Rückfragen stehe ich gerne zur Verfügung,

MfG Len98

Kommentar von KDWalther ,

"f'(2) = 0 beschreibt somit, dass es auch tatsächlich eine Extremstelle ist."

Genau genommen drückt diese Gleichung "nur" aus, dass bei x=2 eine waagerechte Tangente vorliegt. Es könnte sich also auch um einen Sattelpunkt handeln. Das habe ich bei meiner Lösung aber auch ausgeblendet. - Nur wenige Lehrer lassen anhand der "Lösung" prüfen, ob es sich tatsächlich um eine Extremnstelle handelt. Es ist aber schon vorgekommen, dass sich bei der "Lösung" ein vermeintlicher Tiefpunkt als Hochpunkt/Sattelpunkt herausgestellt hat. Dann gäbe es keine Funktion, die die gegebenen Bedingungen erfüllt.

Kommentar von Len98 ,

Achso, ja da hast du recht, man hätte das ganze auch noch im Graph-Menü kontrollieren können und die Gleichung gegebenfalls anpassen können, aber ich habe das in diesem Fall auch außer acht gelassen.

In einer Klausur hätte ich es auch überprüft, aber das war mir jetzt zu aufwendig.

P.S.: Habe es gerade nochmal kontrolliert und in diesem Fall hatte man Glück, dass der Graph tatsächlich einen Hochpunkt hat.

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