Frage von bellaSahra300, 69

Hilfe normalparabeln funktionsgleichung?

Hi,

Bitte helft mir ich muss in.der schule.erklären wie ich von 2 bekanten punkten (p1 und p2 ) Auf eine funktionsgleichung komme ich habe keine ahnung davon erjlärt es mir bitte an hand eines.b.s. danke

Sorry für rechtschreibung

Expertenantwort
von Volens, Community-Experte für Gleichungen, Mathe, Mathematik, 27

Bei 2 Punkten reicht es bei einer Parabel nur zu einer ohne Koeffizienten vor x². Sie wird also so z.B. aussehen:

f(x) = x² + bx + c                    Buchstaben frei wählbar, in Analogie gebildet.

Du machst dann zwei Gleichungen, wobei du die x-Koordinaten der Punkte bei x einsetzt und die y-Koordinaten bei f(x).

Dann hast du zwei Gleichungen mit 2 Unbekannten b und c. Die kann man dann ausrechnen und a und b einsetzen.
Am besten geht das immer mit dem Additionsverfahren.

http://dieter-online.de.tl/2-Gleichungen-mit-2-Unbekannten.htm

---

Als weitere Varianten kann man auch
f(x) = ax² + bx  rechnen oder
f(x) = ax²  + c

Das muss dann in der Aufgabe angefragt werden.

Kommentar von Volens ,

Hier ein Beispiel für    y = x² + bx + c

Die Punkte sind P(x=2|y=5) und Q(3|12)

Ich setze die Punkte in die Gleichung ein. Dabei setze ich y nach rechts. Das finde ich besser:     x² + bx + c = y

Für P:      4 + 2b + c = 5
Für Q:     9 + 3b + c = 12

Addieren oder Subtrahieren ist bei diesen Gleichungen egal. Hauptdache ist, eine Unbekannte fliegt raus.
Also subtrahiere ich die zweite von der ersten Gleichung:

-5 - b     = - 7                  Damit ist c erstmal weg.

    - b     = - 7 + 5 
    - b     = - 2
      b     =   2

In die Gleichung für P setze ich b ein. Ich hätte auch Q nehmen können.

4 + 4 + c = 5
            c = 5 - 8
            c = -3

Jetzt habe ich auch die Funktion:

f(x) = x² + 2x - 3

Wenn man die Punkte einsetzt, sieht man, dass es stimmt. Und dass es eine quadratische Gleichung geworden ist, sieht man ja auch.

Expertenantwort
von Willibergi, Community-Experte für Mathe & Mathematik, 23

Die Funktionsgleichung soll also zur Normalparabel kongruent sein, verstehe ich das richtig?

Wenn ja, geht das so:

Die Form ist:

f(x) = x² + px + q

Du hast nun zwei Punkte der Form (x | f(x)) gegeben.

Setze nun den ersten Punkt in die Form ein, sodass du eine Gleichung mit den Variablen p und q erhältst.

Dasselbe machst du mit dem anderen Punkt.

Das entstehende lineare Gleichungssystem löst du dann mit einem geeigneten Verfahren, um die Werte für p und q zu erhalten.

Am Beispiel (2 | 5) und (-2 | -3) verdeutlicht:

Ersten Punkt einsetzen:

f(x) = x² + px + q

5 = 2² + p*2 + q

5 = 4 + 2p + q

Das ist unsere erste Gleichung.

Jetzt der zweite Punkt:

f(x) = x² + px + q

-3 = (-2)² + p*(-2) + q

-3 = 4 - 2p + q

Das ist unsere zweite Gleichung.

Damit können wir nun ein lineares Gleichungssystem aufstellen:

I. 5 = 4 + 2p + q
II. -2 = 4 - 2p + q

Wenn du dieses Gleichungssystem nun mit einem geeigneten Verfahren löst, erhältst du:

p = 2, q = -3

Also lautet die Funktionsgleichung:

f(x) = x² + 2x - 3

Auf dem dazugehörigen Graphen liegen die beiden Punkte.

Ich hoffe, ich konnte dir helfen; wenn du noch Fragen hast, kommentiere einfach. 

LG Willibergi

Antwort
von precursor, 25

Die Normalparabel ist eigentlich nur y = f(x) = x ^ 2

Die allgemeine Parabel lautet y = f(x) = a * x ^ 2 + b * x + c

Dafür braucht man eigentlich 3 Punkte um die vollständig zu bestimmen, allerdings gibt es auch Formen wo ein Parameter verschwindet, dass heißt der Parameter hat dann den Wert Null oder Eins.

y = f(x) = a *  x ^ 2 + b * x

y = f(x) = a * x ^ 2 + c

y = f(x) = x ^ 2 + b * x + c

a darf nicht Null sein, weil es sonst keine Parabel mehr ist,


Ich vermute es wird wohl y = f(x) = a * x ^ 2 + c gemeint sein, das ist eine Parabel, die nach unten oder verschoben und gleichzeitig gestreckt oder gestaucht wurde.

An dem Beispiel zeige ich es jetzt,

---------------------------------------------------------------------------------------------------


y = f(x) = a * x ^ 2 + c

P _ 1 (2 | 5)

P _ 2 (4 | 11)

x _ 1 = 2

y _ 1 = 5

x _ 2 = 4

y _ 2 = 11


I.) a * 2 ^ 2 + c = 5

II.) a * 4 ^ 2 + c = 11

I.) 4 * a + c = 5

II.) 16 * a + c = 11

I.) c = 5 -  4 * a

II.) c = 11 - 16 * a

5 - 4 * a = 11 - 16 * a

- 12 * a = -6

a = 1 / 2

a in I.) einsetzen -->

c = 5 - 4 * (1 / 2)

c = 3

Wegen y = f(x) = a * x ^ 2 + c gilt also dann

y = f(x) = (1 / 2) * x ^ 2 + 3

Kommentar von Willibergi ,

"Ich vermute es wird wohl y = f(x) = a * x ^ 2 + c gemeint sein, das ist eine Parabel, die nach unten oder verschoben und gleichzeitig gestreckt oder gestaucht wurde."

Ich denke eher, dass eine zur Normalparabel kongruente Parabel gesucht ist, was die Überschrift "Hilfe normalparabeln funktionsgleichung" möglicherweise andeuten soll. ^^

Für eine zur y-Achse symmetrische Parabel ist deine Lösung natürlich richtig. ;)

LG Willibergi

Kommentar von precursor ,

Ok, so richtig klar, was denn nun wirklich in der Frage des Fragestellers gemeint ist, ist es mir immer noch nicht ;-))

Kommentar von Willibergi ,

Mir auch nicht, man kann nur spekulieren und versuchen, richtig zu interpretieren. ^^

LG Willibergi

Kommentar von precursor ,

Ja ;-))

Antwort
von poseidon42, 24

Also angenommen die Funktion hat die Gestalt einer Parabel, d.h. die Form:

f(x) = ax^2 + bx + c

und du hast nun 2 Punkte auf diesem Graphen gegeben, P1 und P2 mit

P1 = ( x(1) | f(x(1)) )  und P2 = (x(2) | f(x(2)) )

Dann können wir wie folgt ansetzen:

Wir setzen zunächst die Punkte ein:

f(x(1)) = ax(1)^2 + bx(1) + c

f(x(2)) = ax(2)^2 + bx(2) + c

Subtrahieren der zweiten Gleichung von der ersten liefert:

f(x(1)) - f(x(2)) = a(x(1)^2 - x(2)^2) + b(x(1) - x(2) )

mit der Vorraussetzung, dass es sich um eine Normalparabel handelt folgt also a = 1, und damit eingesetzt:

f(x(1)) - f(x(2)) = (x(1)^2 - x(2)^2) + b(x(1) - x(2) )

Auflösen nach b liefert damit:

[ f(x(1)) - f(x(2)) - (x(1)^2 - x(2)^2) ]/(x(1) - x(2)) = b

falls x(1) - x(2) ungleich 0 ist.

Falls jedoch x(1) - x(2) = 0 gilt folgt damit ja:

f(x(1)) - f(x(2)) = (x(1)^2 - x(2)^2)  

Damit können wir b = 0 annehmen.

Somit können wir zu guter letzt dann c bestimmen durch:

f(x(1)) = ax(1)^2 + bx(1) + c 

umformen nach c durch Subtrahieren liefert:

c = f(x(1)) - ( ax(1)^2 + bx(1) )

Damit können wir schließlich unsere Funktionsgleichung für f(x) unter der Annahme a = 1 aufstellen mit:

b = [ f(x(1)) - f(x(2)) - (x(1)^2 - x(2)^2) ]/(x(1) - x(2))       ; x(1) - x(2) ungl. 0

b = 0 ; x(1) - x(2) = 0

c = f(x(1)) - ( ax(1)^2 + bx(1) )

---> f(x) = ax^2 + bx + c  unsere gesuchte Funktionsgleichung

Expertenantwort
von fjf100, Community-Experte für Mathe, 7

MERKE : Für jede Unbekannte braucht man eine Gleichung,sonst ist die Aufgabe nicht lösbar.

Bei 2 Punkten reicht eine Gerade : Formel y=f(x)= m *x +b

m und b sind 2 Unbekannte und die 2 Punkte liefern die 2 Gleichungen.

Beispiel : Punkt P1(1/2) und Punkt P2(4/6)

ergibt 2 Gleichungen

1. y1= m * x1 + b mit x1=1 und y1=2

2. y2= m * x2 +b mit x2=4 und y2=6

Dies kannst du selber lösen.

2. Möglichkeit

Steigung m= y2-y1) /( x2 - x1)=(6-2)/(4 - 1)= 4/3

ergibt y=f(x)= 4/3 * x + b nun wird b aus einer der 2 Punkte ermittelt

mit P1 ergibt sich 2= 4/3 *1 + b ergibt b= 2 - 4/3= 2/3

Formel somit y=f(x)= 4/3 * x + 2/3

Antwort
von sweetycube, 16

Die allgmemeine formel einer parabel lautet ja :

ax^2 + bx + c

Wenn die parabel durch den nullpunkt läuft dann ist bx = 0, da eine achsensymmetrie herrscht (das sieht man daran, dass alle exponenten eine gerade zahl haben)

Wenn sie nicht durch (0/0) läuft dann brauchst du 3 gegebene punkte

c ist die verschiebung auf der y-achse, die kannst du direkt ablesen

a findest du durch einen weiteren punkt heraus, den du einsetzt

Ein beispiel zu geben ist etwas schwierig da man das hier nicht so gut darstellen kann

Ich hoffe meine antwort hat dir etwas geholfen, bei fragen kannst du dich an mich wenden :)

LG sweetycube

Kommentar von bellaSahra300 ,

dankeschöööön

Kommentar von sweetycube ,

Kein probleeem :D 

Antwort
von SakuraSha, 19

Wenn du 2 Punkte hast, z.B.:

X = 1 und Y= 1
X = 2 und Y= 2

Kannst du eine Geradengleichung aufstellen, weil du 2 Gleichungen und 2 Unbekannten hast, denn:

y = mx + b

Punkte einsetzen

1= m + b
Und
2= 2m +b

Jetzt kann man das ganze mit verschiedenen Verfahren lösen und kommt auf die Gleichung, in dem man b und m bestimmt.

Kommentar von sweetycube ,

Ich dachte sie wollte die erklärung für parabeln ^^°

Kommentar von bellaSahra300 ,

ja wollte ich auch

Kommentar von SakuraSha ,

Jap, wollte damit aber ausdrücken, dass sie für eine Parabel 3 Punkte braucht und mit 2 Punkten eben nur eine Geradengleichung aufstellen kann ;)

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